阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：，，则sin2-优题课

题文

阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
，，则sin²30°＋cos²30°＝________；①
，，则sin²45°＋cos²45°＝________；②
，，则sin²60°＋cos²60°＝________；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A＋cos²A＝________．④

（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且，求cosA．

科目数学题型解答题难度中等

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如图，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $O A = 4$ ， $O C = 3$ ，若抛物线的顶点在 $B C$ 边上，且抛物线经过 $O, A$ 两点，直线 $A C$ 交抛物线于点 $D$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）求点 $D$ 的坐标；
（3）若点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在 $x$ 轴上，是否存在以 $A, D, M, N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．

某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？

如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i=1：1.2（垂直高度CE与水平宽度DE的比），上底BC=10m，天桥高度CE=5m，求天桥下底AD的长度？（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
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（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上上的概率．

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