如图所示，请用位似变换把图形放大一倍．-优题课

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - (2 a - \frac{3}{4}) x + 3$ 的图象经过点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．在 $x$ 轴上有一动点 $C (m$ ， $0) (0 < m < 4)$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 于点 $E$ ，交该二次函数图象于点 $D$ ．

（1）求 $a$ 的值和直线 $AB$ 的解析式；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，设 $ΔACE$ ， $ΔDEF$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 4 S_{2}$ ，求 $m$ 的值；

（3）点 $H$ 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点 $G$ 是线段 $AB$ 上的动点，当四边形 $DEGH$ 是平行四边形，且 $▱ DEGH$ 周长取最大值时，求点 $G$ 的坐标．

如图，已知 $AB$ ， $CD$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ， $⊙ O$ 的弦 $DE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，且 $DF = EF$ ．

（1）求证： $C O^{2} = OF \cdot OP$ ；

（2）连接 $EB$ 交 $CD$ 于点 $G$ ，过点 $G$ 作 $GH ⊥ AB$ 于点 $H$ ，若 $PC = 4 \sqrt{2}$ ， $PB = 4$ ，求 $GH$ 的长．

一次函数 $y = kx + b$ 的图象经过点 $A (- 2, 12)$ ， $B (8, - 3)$ ．

（1）求该一次函数的解析式；

（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象相交于点 $C (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $D (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，且 $CD = CE$ ，求 $m$ 的值．

如图，甲建筑物 $AD$ ，乙建筑物 $BC$ 的水平距离 $AB$ 为 $90 m$ ，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从 $E (A$ ， $E$ ， $B$ 在同一水平线上）点测得 $D$ 点的仰角为 $30 °$ ，测得 $C$ 点的仰角为 $60 °$ ，求这两座建筑物顶端 $C$ 、 $D$ 间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）．

某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．

（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？

（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？