某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查。-优题课

先化简，再求值： $(\frac{x}{x^{2} + x} - 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{8} - 4 \sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

如图，正方形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $BC$ ， $CD$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 重合）， $AM$ ， $AN$ 分别交 $BD$ 于点 $E$ ， $F$ ，且 $∠ MAN$ 始终保持 $45 °$ 不变．

（1）求证： $\frac{AF}{AM} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

（2）求证： $AF ⊥ FM$ ；

（3）请探索：在 $∠ MAN$ 的旋转过程中，当 $∠ BAM$ 等于多少度时， $∠ FMN = ∠ BAM$ ？写出你的探索结论，并加以证明．

已知，点 $M$ 是二次函数 $y = a x^{2} (a > 0)$ 图象上的一点，点 $F$ 的坐标为 $(0, \frac{1}{4 a})$ ，直角坐标系中的坐标原点 $O$ 与点 $M$ ， $F$ 在同一个圆上，圆心 $Q$ 的纵坐标为 $\frac{1}{8}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）当 $O$ ， $Q$ ， $M$ 三点在同一条直线上时，求点 $M$ 和点 $Q$ 的坐标；

（3）当点 $M$ 在第一象限时，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴，垂足为点 $N$ ，求证： $MF = MN + OF$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 ax + 1$ 与 $x$ 轴仅有一个公共点 $A$ ，经过点 $A$ 的直线交该抛物线于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且点 $C$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线 $AB$ 对应的函数解析式．

下面是淄博市2016年4月份的天气情况统计表：

日期	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
天气	多云	阴	多云	晴	多云	阴	晴	晴	晴	多云	多云	多云	晴	晴	雨

日期	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
天气	雨	多云	多云	多云	多云	晴	多云	多云	晴	多云	多云	多云	晴	晴	晴

（1）请完成下面的汇总表：

天气	晴	多云	阴	雨
天数

（2）根据汇总表绘制条形图；

（3）在该月中任取一天，计算该天多云的概率．