如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F-优题课

如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线
BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．

（1）求证：BG＝CF．
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

已知直线 $l_{1} : y = x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $C (1, a)$ ．

（1）试确定双曲线的函数表达式；

（2）将 $l_{1}$ 沿 $y$ 轴翻折后，得到 $l_{2}$ ，画出 $l_{2}$ 的图象，并求出 $l_{2}$ 的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，点 $P$ 是线段 $AC$ 上点（不包括端点），过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，交双曲线于点 $N$ ，求 $S_{ΔAMN}$ 的取值范围．

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $AB = 10$ ， $P$ 是边 $AC$ 上一点（不包括端点 $A$ 、 $C)$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF / / AC$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ．设 $PC = x$ ，

$PE = y$ ．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）是否存在点 $P$ 使 $ΔPEF$ 是 $Rt$ △？若存在，求此时的 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

我们规定：若 $\vec{m} = (a, b)$ ， $\vec{n} = (c, d)$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = ac + bd$ ．如 $\vec{m} = (1, 2)$ ， $\vec{n} = (3, 5)$ ，则 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \times 3 + 2 \times 5 = 13$ ．

（1）已知 $\vec{m} = (2, 4)$ ， $\vec{n} = (2, - 3)$ ，求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ ；

（2）已知 $\vec{m} = (x - a, 1)$ ， $\vec{n} = (x - a, x + 1)$ ，求 $y = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，问 $y = \vec{m} \cdot \vec{n}$ 的函数图象与一次函数 $y = x - 1$ 的图象是否相交，请说明理由．

甲乙两人进行射击训练，两人分别射击12次，如图分别统计了两人的射击成绩，已知甲射击成绩的方差 $S_{甲}^{2} = \frac{7}{12}$ ，平均成绩 $\overset{̅}{x_{甲}} = 8.5$ ．

（1）根据图上信息，估计乙射击成绩不少于9环的概率是多少？

（2）求乙射击的平均成绩的方差，并据此比较甲乙的射击“水平”．

$S^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \overset{̅}{x})}^{2} + {(x_{2} - \overset{̅}{x})}^{2} \dots {(x_{n} - \overset{̅}{x})}^{2}]$ ．

已知，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (0, 3)$ 点 $B (5, 8)$

（1）求抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的解析式和顶点坐标；

（2）知图1，连接 $AB$ ，在 $x$ 轴上确定一点 $C$ ，使得 $∠ ABC = 90 °$ ，求出点 $C$ 的坐标；

（3）将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线 $y = a x^{2} + mx + n$ ，直线 $y = kx + 2 (k > 0)$ 与抛物线 $y = a x^{2} + mx + n$ 交于点 $E (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $F (x_{2}$ ， $y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，连接 $OE$ ， $OF$ ，若 $S_{ΔEOF} = = 3$ ，在图2中画出平面直角坐标系并求 $k$ ．