（本题8分）解方程组：（1）（2）-优题课

如图，线段 $EF$ 与 $MN$ 表示某一段河的两岸， $EF / / MN$ ．综合实践课上，同学们需要在河岸 $MN$ 上测量这段河的宽度 $(EF$ 与 $MN$ 之间的距离），已知河对岸 $EF$ 上有建筑物 $C$ 、 $D$ ，且 $CD = 60$ 米，同学们首先在河岸 $MN$ 上选取点 $A$ 处，用测角仪测得 $C$ 建筑物位于 $A$ 北偏东 $45 °$ 方向，再沿河岸走20米到达 $B$ 处，测得 $D$ 建筑物位于 $B$ 北偏东 $55 °$ 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动．现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．

大学一年级20名学生的测试成绩为：

39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．

大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：

年级	平均数	众数	中位数	优秀率
大一	$a$	$b$	43	$m$
大二	39.5	44	$c$	$n$

请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：

（1）上表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $m =$ 　　， $n$ 　　；

根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；

（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；

（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $BE / / DF$ 且分别交对角线 $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当四边形 $ABCD$ 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 $BEDF$ 的形状．（无需说明理由）

计算求解：

（1）计算 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - (\sqrt{80} - \sqrt{20}) \div \sqrt{5} + \sqrt{3} \tan 30 °$ ；

（2）解方程组 $\{\begin{matrix} 1.5 (20 x + 10 y) = 15000 \\ 1.2 (110 x + 120 y) = 97200 \end{matrix}$ ．

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC = m$ ， $BC = n$ ， $∠ BAC = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $CP$ ，将线段 $CP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $PD$ ，连接 $CD$ 、 $AP$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $BC$ 、 $CD$ 的中点，设直线 $AP$ 与直线 $EF$ 相交所成的较小角为 $β$ ，探究 $\frac{EF}{AP}$ 的值和 $β$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $α = 120 °$ 时，如图3，也求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{EF}{PA} =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $β =$ 　　（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数．