如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，ECBC-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，点 $O$ 为对角线 $AC$ 的中点．

（1）问题解决：如图①，连接 $BO$ ，分别取 $CB$ ， $BO$ 的中点 $P$ ， $Q$ ，连接 $PQ$ ，则 $PQ$ 与 $BO$ 的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△ $A O^{'} E$ 是将图①中的 $ΔAOB$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ 得到的三角形，连接 $CE$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $CE$ ， $B O^{'}$ 的中点，连接 $PQ$ ， $PB$ ．判断 $ΔPQB$ 的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△ $A O^{'} E$ 是将图①中的 $ΔAOB$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $45 °$ 得到的三角形，连接 $B O^{'}$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $CE$ ， $B O^{'}$ 的中点，连接 $PQ$ ， $PB$ ．若正方形 $ABCD$ 的边长为1，求 $ΔPQB$ 的面积．

2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 $y$ （人 $)$ 与时间 $x$ （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中 $9 ~ 15$ 表示 $9 < x ⩽ 15)$

时间 $x$ （分钟）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$9 ~ 15$
人数 $y$ （人 $)$	0	170	320	450	560	650	720	770	800	810	810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $E$ ， $⊙ O$ 的切线 $AF$ 交 $BD$ 的延长线于点 $F$ ，切点为 $A$ ，且 $∠ CAD = ∠ ABD$ ．

（1）求证： $AD = CD$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BF = 5$ ，求 $\sin ∠ BDC$ 的值．

第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；

（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？

脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $AB$ 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上 $C$ 点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上 $C$ 点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上 $A$ 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点 $D$ 时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $EF = 12 m$ ， $EF / / CB$ ， $AB$ 交 $EF$ 于点 $G$ （点 $C$ ， $D$ ， $B$ 在同一水平线上）．（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

（1）求屋顶到横梁的距离 $AG$ ；

（2）求房屋的高 $AB$ （结果精确到 $1 m)$ ．