某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查-优题课

解不等式组： $\{\begin{matrix} x + 5 < 4 \\ \frac{3 x + 1}{2} ⩾ 2 x - 1 \end{matrix}$ ．

计算： ${(- \frac{1}{2})}^{0} + | 1 - \sqrt{2} | - \sqrt{8}$ ．

综合与探究

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ ， $C$ 三点的坐标并直接写出直线 $AC$ ， $BC$ 的函数表达式．

（2）点 $P$ 是直线 $AC$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $BC$ 的平行线 $l$ ，交线段 $AC$ 于点 $D$ ．

①试探究：在直线 $l$ 上是否存在点 $E$ ，使得以点 $D$ ， $C$ ， $B$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线 $l$ 交于点 $M$ ，与直线 $AC$ 交于点 $N$ ．当 $S_{ΔDMN} = S_{ΔAOC}$ 时，请直接写出 $DM$ 的长．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $CD$ 的中点，连接 $EF$ ， $BF$ ，试猜想 $EF$ 与 $BF$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱ ABCD$ 沿着 $BF (F$ 为 $CD$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，连接 $DC'$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，请判断 $AG$ 与 $BG$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱ ABCD$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A'$ ，使 $A' B ⊥ CD$ 于点 $H$ ，折痕交 $AD$ 于点 $M$ ，连接 $A' M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱ ABCD$ 的面积为20，边长 $AB = 5$ ， $BC = 2 \sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $BHNM)$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校"综合与实践"活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $AB = 100 cm$ ， $BC = 80 cm$ ， $∠ ABC = 120 °$ ， $∠ BCD = 75 °$ ，四边形 $DEFG$ 为矩形，且 $DE = 5 cm$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $EF$ 的距离（结果精确到 $0.1 cm$ ．参考数据： $\sin 75 ° \approx 0.97$ ， $\cos 75 ° \approx 0.26$ ， $\tan 75 ° \approx 3.73$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ．