综合与探究如图，抛物线y12x22x−6与x轴交于A，B两点-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式和 $A$ ， $B$ 两点的坐标；

（2）如图1，若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），是否存在点 $P$ ，使四边形 $PBOC$ 的面积最大？若存在，求点 $P$ 的坐标及四边形 $PBOC$ 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $BC$ 于点 $N$ ，当 $MN = 3$ 时，求点 $M$ 的坐标．

在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ．

（1）如图1，点 $M$ ， $N$ 分别在 $AD$ ， $AB$ 上，且 $∠ BMN = 90 °$ ，当 $∠ AMN = 30 °$ ， $AB = 2$ 时，求线段 $AM$ 的长；

（2）如图2，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 上，且 $∠ EDF = 90 °$ ，求证： $BE = AF$ ；

（3）如图3，点 $M$ 在 $AD$ 的延长线上，点 $N$ 在 $AC$ 上，且 $∠ BMN = 90 °$ ，求证： $AB + AN = \sqrt{2} AM$ ．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，且 $CD = CB$ ，连接 $DO$ 并延长交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）判断直线 $CD$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BE = 2$ ， $DE = 4$ ，求圆的半径及 $AC$ 的长．

4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：

一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位： $\min) :$

30	60	81	50	44	110	130	146	80	100
60	80	120	140	75	81	10	30	81	92

二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：

三、分析数据，补全下列表格中的统计量：

平均数	中位数	众数
80	$c$	81

四、得出结论：

①表格中的数据： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为　　；

③如果该校现有学生400人，估计等级为“ $B$ ”的学生有　　人；

④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读　　本课外书．

对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算： $a \otimes b = 2 a + b$ ，例如 $3 \otimes 4 = 2 \times 3 + 4 = 10$ ．

（1）求 $4 \otimes (- 3)$ 的值；

（2）若 $x \otimes (- y) = 2$ ， $(2 y) \otimes x = - 1$ ，求 $x + y$ 的值．