（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，∠BAD120°-优题课

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？
（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $AB = 3$ ， $AC = 4$ ，点 $M$ ， $Q$ 分别是边 $AB$ ， $BC$ 上的动点（点 $M$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $MQ ⊥ BC$ ，过点 $M$ 作 $BC$ 的平行线 $MN$ ，交 $AC$ 于点 $N$ ，连接 $NQ$ ，设 $BQ$ 为 $x$ ．

（1）试说明不论 $x$ 为何值时，总有 $ΔQBM ∽ ΔABC$ ；

（2）是否存在一点 $Q$ ，使得四边形 $BMNQ$ 为平行四边形，试说明理由；

（3）当 $x$ 为何值时，四边形 $BMNQ$ 的面积最大，并求出最大值．

如图，已知矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AD$ ， $AB$ 上的点， $EF ⊥ EC$ ，且 $AE = CD$ ．

（1）求证： $AF = DE$ ；

（2）若 $DE = \frac{2}{5} AD$ ，求 $\tan ∠ AFE$ ．

已知点 $E$ 为正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 上一点，连接 $BE$ ，过点 $C$ 作 $CN ⊥ BE$ ，垂足为 $M$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔBCN$ ；

（2）若 $N$ 为 $AB$ 的中点，求 $\tan ∠ ABE$ ．

将一副三角板 $Rt Δ ABD$ 与 $Rt Δ ACB$ （其中 $∠ ABD = 90 °$ ， $∠ D = 60 °$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 45 °)$ 如图摆放， $Rt Δ ABD$ 中 $∠ D$ 所对直角边与 $Rt Δ ACB$ 斜边恰好重合．以 $AB$ 为直径的圆经过点 $C$ ，且与 $AD$ 交于点 $E$ ，分别连接 $EB$ ， $EC$ ．

（1）求证： $EC$ 平分 $∠ AEB$ ；

（2）求 $\frac{S_{△ ACE}}{S_{△ BEC}}$ 的值．

在 $ΔABC$ 中， $M$ 是 $AC$ 边上的一点，连接 $BM$ ．将 $ΔABC$ 沿 $AC$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $D$ 处，当 $DM / / AB$ 时，求证：四边形 $ABMD$ 是菱形．

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