我们把两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图，四边形ABCD-优题课

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ，点 $D$ 是 $A B$ 边的中点，点 $O$ 在 $A C$ 边上， $⊙ O$ 经过点 $C$ 且与 $A B$ 边相切于点 $E$ ， $∠ F A C = \frac{1}{2} ∠ B D C$ ．

（1）求证： $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $B C ＝ 6$ ， $\sin B = \frac{4}{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $O D$ 的长．

为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少 $23$ 元，且 $84$ 元购买绳子的数量与 $360$ 元购买实心球的数量相同．

（1）绳子和实心球的单价各是多少元？

（2）如果本次购买的总费用为 $510$ 元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？

在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）、科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动．为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有　　人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是　　；

（4）若该校有 $2700$ 名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．

如图，直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k ＞ 0 ， x ＞ 0 ）$ 的图象相交于点 $A$ 和点 $C （ 3, 2 ）$ ，与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $B$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）连接 $O A ， O C$ ，若点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $△ A O C$ 的面积．

综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点 $B ， D$ ，连接 $A D ， A B ， B C ， C D$ ，如果 $∠ B ＝ ∠ D$ ，那么 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点 $A ， C ， D$ 的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点 $E$ （不与 $A ， C$ 重合），连接 $A E ， C E$ ，则 $∠ A E C + ∠ D ＝ 180 °$ （依据1）

∵ $∠ B ＝ ∠ D$

∴ $∠ A E C + ∠ B ＝ 180 °$

∴点 $A ， B ， C ， E$ 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点 $B ， D$ 在点 $A ， C ， E$ 所确定的 $⊙ O$ 上（依据2）

∴点 $A ， B ， C ， D$ 四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；依据2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∠ 3 ＝ 45 °$ ，则 $∠ 4$ 的度数为＿＿＿＿＿．

拓展探究：

（3）如图4，已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B ＝ A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上（不与 $B C$ 的中点重合），连接 $A D$ ．作点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $E$ ，连接 $E B$ 并延长交 $A D$ 的延长线于 $F$ ，连接 $A E ， D E$ ．

①求证： $A ， D ， B ， E$ 四点共圆；

②若 $A B ＝ 2 \sqrt{2}$ ， $A D • A F$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．