（本小题满分12分）在中，角对边分别为．设向量，，．（Ⅰ）若-优题课

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题文

（本小题满分12分）在中，角对边分别为．设向量，，．
（Ⅰ）若，求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）已知，若，求的面积．

科目数学题型解答题难度中等

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（Ⅰ）设 $x \geq 1$ , $y \geq 1$ ,证明: $x + y + \frac{1}{x y} \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + x y$ .

（Ⅱ） $1 \leq a \leq b \leq c$ ，证明: $\log_{a} b + \log_{b} c \leq \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c$ .

在数1和100之间插入 $n$ 个实数，使得这 $n + 2$ 个数构成递增的等比数列，将这 $n + 2$ 个数的乘积记作 $T_{n}$ ，再令 $a_{n} = l g T_{n}$ , $n \geq 1$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n + 1}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

如图， $A B C D E F G$ 为多面体，平面 $A B E D$ 与平面 $A G F D$ 垂直，点 $O$ 在线段 $A D$ 上， $O A = 1, O D = 2, △ O A B, △ O A C, △ O D E, △ O D F$ 都是正三角形.
（Ⅰ）证明直线 $B C ∥ E F$ ；
（2）求棱锥 $F - O B E D$ 的体积.

设 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + a x}$ ，其中 $a$ 为正实数
（Ⅰ）当 $a = \frac{4}{3}$ 时，求 $f (x)$ 的极值点；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 为 $R$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围。

若数列 $A_{1} = a_{1}, a_{2} . . . a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $|a_{k + 1} - a_{k}| = 1 (k = 1, 2, . . ., n - 1)$ ，数列 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S (A_{n})$ = $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}$ .
（Ⅰ）写出一个满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ，且 $S (A_{5}) > 0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；
（Ⅱ）若 $a_{1} = 12$ ， $n = 2000$ ，证明： $E$ 数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2011$ ；
（Ⅲ）对任意给定的整数 $n (n \geq 2)$ ，是否存在首项为 $0$ 的 $E$ 数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n})$ = $0$ ？如果存在，写出一个满足条件的 $E$ 数列 $A_{n}$ ；如果不存在，说明理由.

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