如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC < AB < BC$ ．

（1）已知线段 $AB$ 的垂直平分线与 $BC$ 边交于点 $P$ ，连接 $AP$ ，求证： $∠ APC = 2 ∠ B$ ．

（2）以点 $B$ 为圆心，线段 $AB$ 的长为半径画弧，与 $BC$ 边交于点 $Q$ ，连接 $AQ$ ．若 $∠ AQC = 3 ∠ B$ ，求 $∠ B$ 的度数．

称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

序号

数据

1

2

3

4

5

甲组

48

52

47

49

54

乙组

$- 2$

2

$- 3$

$- 1$

4

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为 $\overset{̅}{x_{甲}}$ ， $\overset{̅}{x_{乙}}$ ，写出 $\overset{̅}{x_{甲}}$ 与 $\overset{̅}{x_{乙}}$ 之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ， $S_{乙}^{2}$ ，比较 $S_{甲}^{2}$ 与 $S_{乙}^{2}$ 的大小，并说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} x + 2 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ．

（1）如图1，连接 $AC$ ， $BC$ ．若点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PE / / y$ 轴交 $BC$ 于点 $E$ ，作 $PF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，过点 $B$ 作 $BG / / AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ．点 $H$ ， $K$ 分别在对称轴和 $y$ 轴上运动，连接 $PH$ ， $HK$ ．当 $ΔPEF$ 的周长最大时，求 $PH + HK + \frac{\sqrt{3}}{2} KG$ 的最小值及点 $H$ 的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线 $AC$ 方向平移，当抛物线经过原点 $O$ 时停止平移，此时抛物线顶点记为 $D'$ ， $N$ 为直线 $DQ$ 上一点，连接点 $D'$ ， $C$ ， $N$ ，△ $D' CN$ 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不能，请说明理由．

在 $▱ ABCD$ 中， $BE$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．

（1）如图1，若 $∠ D = 30 °$ ， $AB = \sqrt{6}$ ，求 $ΔABE$ 的面积；

（2）如图2，过点 $A$ 作 $AF ⊥ DC$ ，交 $DC$ 的延长线于点 $F$ ，分别交 $BE$ ， $BC$ 于点 $G$ ， $H$ ，且 $AB = AF$ ．求证： $ED - AG = FC$ ．

某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．

（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？

（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有 $40 %$ 和 $20 %$ 参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 $2 a %$ ，毎个摊位的管理费将会减少 $\frac{3}{10} a %$ ；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 $6 a %$ ，每个摊位的管理费将会减少 $\frac{1}{4} a %$ ．这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 $\frac{5}{18} a %$ ，求 $a$ 的值．