如图①，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A-优题课

如图①，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为m，n（m＜0，n＞0）．

（1）当m=﹣1，n=4时，k=     ，b=     ；
当m=﹣2，n=3时，k=     ，b=     ；
（2）根据（1）中的结果，用含m，n的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；
（3）利用（2）中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D，点A关于y轴的对称点为点E，连接AO，OE，ED．
①当m=﹣3，n＞3时，求的值（用含n的代数式表示）；
②当四边形AOED为菱形时，m与n满足的关系式为             ；
当四边形AOED为正方形时，m=       ，n=     ．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

问题提出

（1）如图①， $ΔABC$ 是等边三角形， $AB = 12$ ，若点 $O$ 是 $ΔABC$ 的内心，则 $OA$ 的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 12$ ， $AD = 18$ ，如果点 $P$ 是 $AD$ 边上一点，且 $AP = 3$ ，那么 $BC$ 边上是否存在一点 $Q$ ，使得线段 $PQ$ 将矩形 $ABCD$ 的面积平分？若存在，求出 $PQ$ 的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由 $ΔABM$ 草地和弦 $AB$ 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 $M$ 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于 $∠ AMB$ （即每次喷灌时喷灌龙头由 $MA$ 转到 $MB$ ，然后再转回，这样往复喷灌． $)$ 同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 $AB = 24 m$ ， $MB = 10 m$ ， $ΔAMB$ 的面积为 $96 m^{2}$ ；过弦 $AB$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $\hat{AB}$ 于点 $E$ ，又测得 $DE = 8 m$ ．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

在同一直角坐标系中，抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - 2 x - 3$ 与抛物线 $C_{2} : y = x^{2} + mx + n$ 关于 $y$ 轴对称， $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 在点 $B$ 的左侧．

（1）求抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的函数表达式；

（2）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（3）在抛物线 $C_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ，在抛物线 $C_{2}$ 上是否存在一点 $Q$ ，使得以 $AB$ 为边，且以 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $P$ 、 $Q$ 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径为5， $PA$ 是 $⊙ O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $AC ⊥ PB$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ 、交 $PB$ 于点 $D$ ，连接 $BC$ ，当 $∠ P = 30 °$ 时，

（1）求弦 $AC$ 的长；

（2）求证： $BC / / PA$ ．

端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为 $A)$ ，豆沙粽子（记为 $B)$ ，肉粽子（记为 $C)$ ，这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．

最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：

品种

项目

产量（斤 $/$ 每棚）

销售价（元 $/$ 每斤）

成本（元 $/$ 每棚）

香瓜

2000

8000

甜瓜

4500

5000

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为 $x$ 个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为 $y$ 元．

根据以上提供的信息，请你解答下列问题：

（1）求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．