如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点-优题课

如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为1，正方形 $CEFG$ 的面积为 $S_{1}$ ，点 $E$ 在 $DC$ 边上，点 $G$ 在 $BC$ 的延长线上，设以线段 $AD$ 和 $DE$ 为邻边的矩形的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{1} = S_{2}$ ．

（1）求线段 $CE$ 的长；

（2）若点 $H$ 为 $BC$ 边的中点，连接 $HD$ ，求证： $HD = HG$ ．

方方驾驶小汽车匀速地从 $A$ 地行驶到 $B$ 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为 $t$ （单位：小时），行驶速度为 $v$ （单位：千米 $/$ 小时），且全程速度限定为不超过120千米 $/$ 小时．

（1）求 $v$ 关于 $t$ 的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从 $A$ 地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达 $B$ 地，求小汽车行驶速度 $v$ 的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达 $B$ 地？说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AC < AB < BC$ ．

（1）已知线段 $AB$ 的垂直平分线与 $BC$ 边交于点 $P$ ，连接 $AP$ ，求证： $∠ APC = 2 ∠ B$ ．

（2）以点 $B$ 为圆心，线段 $AB$ 的长为半径画弧，与 $BC$ 边交于点 $Q$ ，连接 $AQ$ ．若 $∠ AQC = 3 ∠ B$ ，求 $∠ B$ 的度数．

称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

序号

数据

1

2

3

4

5

甲组

48

52

47

49

54

乙组

$- 2$

2

$- 3$

$- 1$

4

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为 $\overset{̅}{x_{甲}}$ ， $\overset{̅}{x_{乙}}$ ，写出 $\overset{̅}{x_{甲}}$ 与 $\overset{̅}{x_{乙}}$ 之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为 $S_{甲}^{2}$ ， $S_{乙}^{2}$ ，比较 $S_{甲}^{2}$ 与 $S_{乙}^{2}$ 的大小，并说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} x + 2 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，对称轴与 $x$ 轴交于点 $Q$ ．

（1）如图1，连接 $AC$ ， $BC$ ．若点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $PE / / y$ 轴交 $BC$ 于点 $E$ ，作 $PF ⊥ BC$ 于点 $F$ ，过点 $B$ 作 $BG / / AC$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ．点 $H$ ， $K$ 分别在对称轴和 $y$ 轴上运动，连接 $PH$ ， $HK$ ．当 $ΔPEF$ 的周长最大时，求 $PH + HK + \frac{\sqrt{3}}{2} KG$ 的最小值及点 $H$ 的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线 $AC$ 方向平移，当抛物线经过原点 $O$ 时停止平移，此时抛物线顶点记为 $D'$ ， $N$ 为直线 $DQ$ 上一点，连接点 $D'$ ， $C$ ， $N$ ，△ $D' CN$ 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 $N$ 的坐标；若不能，请说明理由．