大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本-优题课

如图1， $⊙ I$ 与直线 $a$ 相离，过圆心 $I$ 作直线 $a$ 的垂线，垂足为 $H$ ，且交 $⊙ I$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点 $(Q$ 在 $P$ 、 $H$ 之间）．我们把点 $P$ 称为 $⊙ I$ 关于直线 $a$ 的“远点“，把 $PQ \cdot PH$ 的值称为 $⊙ I$ 关于直线 $a$ 的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $E$ 的坐标为 $(0, 4)$ ．半径为1的 $⊙ O$ 与两坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．

①过点 $E$ 画垂直于 $y$ 轴的直线 $m$ ，则 $⊙ O$ 关于直线 $m$ 的“远点”是点　　（填“ $A$ ”．“ $B$ ”、“ $C$ ”或“ $D$ ” $)$ ， $⊙ O$ 关于直线 $m$ 的“特征数”为　　；

②若直线 $n$ 的函数表达式为 $y = \sqrt{3} x + 4$ ．求 $⊙ O$ 关于直线 $n$ 的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 经过点 $M (1, 4)$ ，点 $F$ 是坐标平面内一点，以 $F$ 为圆心， $\sqrt{2}$ 为半径作 $⊙ F$ ．若 $⊙ F$ 与直线 $l$ 相离，点 $N (- 1, 0)$ 是 $⊙ F$ 关于直线 $l$ 的“远点”．且 $⊙ F$ 关于直线 $l$ 的“特征数”是 $4 \sqrt{5}$ ，求直线 $l$ 的函数表达式．

如图1，点 $B$ 在线段 $CE$ 上， $Rt Δ ABC ≅ Rt Δ CEF$ ， $∠ ABC = ∠ CEF = 90 °$ ， $∠ BAC = 30 °$ ， $BC = 1$ ．

（1）点 $F$ 到直线 $CA$ 的距离是　　；

（2）固定 $ΔABC$ ，将 $ΔCEF$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $30 °$ ，使得 $CF$ 与 $CA$ 重合，并停止旋转．

①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 $EF$ 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为　　；

②如图2，在旋转过程中，线段 $CF$ 与 $AB$ 交于点 $O$ ，当 $OE = OB$ 时，求 $OF$ 的长．

如图，正比例函数 $y = kx$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (a, 4)$ ．点 $B$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，过 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交反比例函数的图象于点 $C$ ，交正比例函数的图象于点 $D$ ．

（1）求 $a$ 的值及正比例函数 $y = kx$ 的表达式；

（2）若 $BD = 10$ ，求 $ΔACD$ 的面积．

某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．

（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；

（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？

已知：如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在一条直线上， $EA / / FB$ ， $EA = FB$ ， $AB = CD$ ．

（1）求证： $∠ E = ∠ F$ ；

（2）若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 80 °$ ，求 $∠ E$ 的度数．

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