关于x的一次函数ymx﹣2n与反比例函数的图象的一个交点A（-优题课

如图， $P$ 是 $\hat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的图形的外部的一定点， $C$ 是 $\hat{AB}$ 上一动点，连接 $PC$ 交弦 $AB$ 于点 $D$ ．

小腾根据学习函数的经验，对线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点 $C$ 在 $\hat{AB}$ 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度的几组值，如下表：

	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8
$PC / cm$	3.44	3.30	3.07	2.70	2.25	2.25	2.64	2.83
$PD / cm$	3.44	2.69	2.00	1.36	0.96	1.13	2.00	2.83
$AD / cm$	0.00	0.78	1.54	2.30	3.01	4.00	5.11	6.00

在 $PC$ ， $PD$ ， $AD$ 的长度这三个量中，确定　　的长度是自变量，　　的长度和　　的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当 $PC = 2 PD$ 时， $AD$ 的长度约为　　 $cm$ ．

小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第 $i$ 组有 $x_{i}$ 首， $i = 1$ ，2，3，4；

②对于第 $i$ 组诗词，第 $i$ 天背诵第一遍，第 $(i + 1)$ 天背诵第二遍，第 $(i + 3)$ 天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵， $i = 1$ ，2，3，4；

	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天	第6天	第7天
第1组	$x_{1}$	$x_{1}$		$x_{1}$
第2组		$x_{2}$	$x_{2}$		$x_{2}$
第3组
第4组				$x_{4}$	$x_{4}$		$x_{4}$

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入 $x_{3}$ 补全上表；

（2）若 $x_{1} = 4$ ， $x_{2} = 3$ ， $x_{3} = 4$ ，则 $x_{4}$ 的所有可能取值为　　；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为　　首．

在平面内，给定不在同一条直线上的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，如图所示，点 $O$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离均等于 $a (a$ 为常数），到点 $O$ 的距离等于 $a$ 的所有点组成图形 $G$ ， $∠ ABC$ 的平分线交图形 $G$ 于点 $D$ ，连接 $AD$ ， $CD$ ．

（1）求证： $AD = CD$ ；

（2）过点 $D$ 作 $DE ⊥ BA$ ，垂足为 $E$ ，作 $DF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，延长 $DF$ 交图形 $G$ 于点 $M$ ，连接 $CM$ ．若 $AD = CM$ ，求直线 $DE$ 与图形 $G$ 的公共点个数．

国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

$a$ ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组： $30 ⩽ x < 40$ ， $40 ⩽ x < 50$ ， $50 ⩽ x < 60$ ， $60 ⩽ x < 70$ ， $70 ⩽ x < 80$ ， $80 ⩽ x < 90$ ， $90 ⩽ x ⩽ 100)$ ；

$b$ ．国家创新指数得分在 $60 ⩽ x < 70$ 这一组的是：

61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5

$c$ ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

$d$ ．中国的国家创新指数得分为69.5．

（以上数据来源于《国家创新指数报告 $(2018)$ 》 $)$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第　　；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线 $l_{1}$ 的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为　　万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是　　．

①相比于点 $A$ ， $B$ 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点 $B$ ， $C$ 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

如图，在菱形 $ABCD$ 中， $AC$ 为对角线，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AB$ ， $AD$ 上， $BE = DF$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证： $AC ⊥ EF$ ；

（2）延长 $EF$ 交 $CD$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．若 $BD = 4$ ， $\tan G = \frac{1}{2}$ ，求 $AO$ 的长．