如图，已知Rt△ABC中，∠ABC90°，先把△ABC绕点B-优题课

（探究证明）

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图1，矩形 $ABCD$ 中， $EF ⊥ GH$ ， $EF$ 分别交 $AB$ ， $CD$ 于点 $E$ ， $F$ ， $GH$ 分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $G$ ， $H$ ．求证： $\frac{EF}{GH} = \frac{AD}{AB}$ ；

（结论应用）

（2）如图2，在满足（1）的条件下，又 $AM ⊥ BN$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $BC$ ， $CD$ 上，若 $\frac{EF}{GH} = \frac{11}{15}$ ，则 $\frac{BN}{AM}$ 的值为　　；

（联系拓展）

（3）如图3，四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = AD = 10$ ， $BC = CD = 5$ ， $AM ⊥ DN$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $BC$ ， $AB$ 上，求 $\frac{DN}{AM}$ 的值．

阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知 $EF$ 为 $ΔABC$ 的中位线， $M$ 是边 $BC$ 上一动点，连接 $AM$ 交 $EF$ 于点 $P$ ，那么动点 $P$ 为线段 $AM$ 中点．

理由： $∵$ 线段 $EF$ 为 $ΔABC$ 的中位线， $∴ EF / / BC$ ，

由平行线分线段成比例得：动点 $P$ 为线段 $AM$ 中点．

由此你得到动点 $P$ 的运动轨迹是：　　．

知识应用：

如图2，已知 $EF$ 为等边 $ΔABC$ 边 $AB$ 、 $AC$ 上的动点，连接 $EF$ ；若 $AF = BE$ ，且等边 $ΔABC$ 的边长为8，求线段 $EF$ 中点 $Q$ 的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3， $P$ 为线段 $AB$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），在线段 $AB$ 的同侧分别作等边 $ΔAPC$ 和等边 $ΔPBD$ ，连接 $AD$ 、 $BC$ ，交点为 $Q$ ．

（1）求 $∠ AQB$ 的度数；

（2）若 $AB = 6$ ，求动点 $Q$ 运动轨迹的长．

小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表：

频数分布表

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）补全频数分布直方图；

（3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于 $165 cm$ 的学生大约有多少人？

随着教育信息化的发展，学生的学习方式日益增多，教师为了指导学生有效利用网络进行学习，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图1、图2两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：

（1）本次接受问卷调查的学生共有　　人，在扇形统计图中“ $D$ “选项所占的百分比为　　；

（2）扇形统计图中，“ $B$ ”选项所对应扇形圆心角为　　度；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该校共有1200名学生，请您估计该校学生课外利用网络学习的时间在“ $A$ ”选项的有多少人？