如图1，△ABC中，∠ACB90°，E是AB的中点，ED平分-优题课

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点， ED平分∠BEC交BC于点D，F在DE延长线上且AF=AE．

（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）如图2若四边形ACEF是菱形，连接FC，BF，FC与AB交于点H，连接DH，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

先化简，再求值： $（ a + b ）（ a ﹣ b ） + （ a + b ）^{2}$ ，其中 $a ＝﹣ 1$ ， $b = \frac{1}{2}$ ．

如图1，矩形ABCD中， $AB ＝ 7 cm$ ， $AD ＝ 4 cm$ ，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且 $DF ＝ acm$ ，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm²，当 $0 \leq t \leq 1$ 时，△PAE的面积y（cm²）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为　，AE＝　　cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若 $a = \frac{4}{3} cm$ ，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

如图1，抛物线 $y ＝﹣ x^{2} + bx + c$ 经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为： $a \oplus b \{\begin{matrix} \frac{b}{a} (a > 0) \\ a - b (a \leq 0) \end{matrix}$ ，

例如： $1 \oplus (- 3) = \frac{- 3}{1} = - 3, (- 3) \oplus 2 = (- 3) - 2 = - 5$ ，

$(x^{2} + 1) \oplus (x - 1) = \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ （因为 $x^{2} + 1 ＞ 0$ ）

参照上面材料，解答下列问题：

（1） $2 \oplus 4 ＝$ 　　， $（﹣ 2 ） \oplus 4 =$ 　　；

（2）若 $x > \frac{1}{2}$ ，且满足 $（ 2 x - 1 ） \oplus （ 4 x^{2} - 1 ）＝（﹣ 4 ） \oplus （ 1 - 4 x ）$ ，求x的值．

如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3cm，求 $\hat{DE}$ 的长度（结果保留π）

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