（本小题8分）为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级-优题课

（本小题8分）为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是    ；
（2）图1中∠α的度数是     ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为    ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

如图，锐角三角形 $ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $AG$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，交 $BC$ 边于点 $F$ ，连接 $BG$ ．

（1）求证： $ΔABG ∽ ΔAFC$ ．

（2）已知 $AB = a$ ， $AC = AF = b$ ，求线段 $FG$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $AE$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $∠ ABD = ∠ CBE$ ，求证： $B G^{2} = GE \cdot GD$ ．

在直角坐标系中，设函数 $y = a x^{2} + bx + 1 (a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0)$ ．

（1）若该函数的图象经过 $(1, 0)$ 和 $(2, 1)$ 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组 $a$ ， $b$ 的值，使函数 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知 $a = b = 1$ ，当 $x = p$ ， $q (p$ ， $q$ 是实数， $p \neq q)$ 时，该函数对应的函数值分别为 $P$ ， $Q$ ．若 $p + q = 2$ ，求证： $P + Q > 6$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ， $AE ⊥ BC$ 于点 $E$ ．已知 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ．

（1）求证： $AB = BD$ ；

（2）若 $AE = 3$ ，求 $ΔABC$ 的面积．

在直角坐标系中，设函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1}$ 是常数， $k_{1} > 0$ ， $x > 0)$ 与函数 $y_{2} = k_{2} x (k_{2}$ 是常数， $k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为点 $B$ ．

（1）若点 $B$ 的坐标为 $(- 1, 2)$ ，

①求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值；

②当 $y_{1} < y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围；

（2）若点 $B$ 在函数 $y_{3} = \frac{k_{3}}{x} (k_{3}$ 是常数， $k_{3} \neq 0)$ 的图象上，求 $k_{1} + k_{3}$ 的值．

在① $AD = AE$ ，② $∠ ABE = ∠ ACD$ ，③ $FB = FC$ 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．

问题：如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = ∠ ACB$ ，点 $D$ 在 $AB$ 边上（不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），点 $E$ 在 $AC$ 边上（不与点 $A$ ，点 $C$ 重合），连接 $BE$ ， $CD$ ， $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ ．若　 ① $AD = AE ($ ② $∠ ABE = ∠ ACD$ 或 ③ $FB = FC)$ 　，求证： $BE = CD$ ．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．