计算：（1）（2）已知：，其中是整数，且0＜＜1，求的相反数-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形， $BE / / DF$ 且分别交对角线 $AC$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当四边形 $ABCD$ 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 $BEDF$ 的形状．（无需说明理由）

计算求解：

（1）计算 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - (\sqrt{80} - \sqrt{20}) \div \sqrt{5} + \sqrt{3} \tan 30 °$ ；

（2）解方程组 $\{\begin{matrix} 1.5 (20 x + 10 y) = 15000 \\ 1.2 (110 x + 120 y) = 97200 \end{matrix}$ ．

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = AC = m$ ， $BC = n$ ， $∠ BAC = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $P$ 为平面内不与点 $A$ 、 $C$ 重合的任意一点，连接 $CP$ ，将线段 $CP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $a$ ，得线段 $PD$ ，连接 $CD$ 、 $AP$ 点 $E$ 、 $F$ 分别为 $BC$ 、 $CD$ 的中点，设直线 $AP$ 与直线 $EF$ 相交所成的较小角为 $β$ ，探究 $\frac{EF}{AP}$ 的值和 $β$ 的度数与 $m$ 、 $n$ 、 $a$ 的关系．

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数分别为 $\frac{EF}{PA} =$ 　　， $β =$ 　　；

【类比探究】

他们又共同研究了 $α = 120 °$ 时，如图3，也求出了 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{EF}{PA} =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的式子表示）； $β =$ 　　（用含 $α$ 的式子表示）．

（2）求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{EF}{PA}$ 的值和 $β$ 的度数．

如图，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $(- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ，直线 $m / / AC$ ，点 $E$ 是直线 $AC$ 上方抛物线上一动点，过点 $E$ 作 $EH ⊥ m$ ，垂足为 $H$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，连接 $AE$ 、 $EC$ 、 $CH$ 、 $AH$ ．

（1）抛物线的解析式为　　；

（2）当四边形 $AHCE$ 面积最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $EF$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得以 $F$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点，以 $EF$ 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $M$ ， $⊙ O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $BD$ 于点 $E$ ，且 $\hat{CE} = \hat{BE}$ ，连接 $OE$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $AB$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = \frac{32}{5} \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ CBD = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．