已知二次函数的图象以A（1，4）为顶点，且过点B（2，5）．-优题课

某校有体育、音乐、书法、舞蹈四个活动小组，要求学生全员参加，每人限报一个小组．校学生会随机抽查了部分学生，对学生参加活动小组的情况进行一次统计，将所收集的数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次共抽查了多少学生？

（2）补全条形统计图并求出扇形统计图中“书法”所占圆心角的度数；

（3）已知该校共有1236名学生，请根据调查的结果估计该校参加书法活动小组的学生人数．

如图，网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $A (- 2, 3)$ ， $B (- 5, 1)$ ， $C (- 3, 1)$ ．先将 $ΔABC$ 沿一个确定方向平移，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $B$ 的对应点 $B_{1}$ 的坐标是 $(1, 2)$ ；再将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，点 $A_{1}$ 的对应点为 $A_{2}$ ．

（1）画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（2）画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出 $\cos B$ 的值．

如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在抛物线 $y = a x^{2} - 2 amx + a m^{2} + 2 m - 5$ （其中 $- \frac{1}{4} < a < 0)$ 上， $AB / / x$ 轴， $∠ ABC = 135 °$ ，且 $AB = 4$ ．

（1）填空：抛物线的顶点坐标为　　（用含 $m$ 的代数式表示）；

（2）求 $ΔABC$ 的面积（用含 $a$ 的代数式表示）；

（3）若 $ΔABC$ 的面积为 2 ，当 $2 m - 5 ⩽ x ⩽ 2 m - 2$ 时， $y$ 的最大值为 2 ，求 $m$ 的值．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上，且 $∠ BAC = 2 ∠ DCB$ ，求证： $AC = AD$ ．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $AE$ 平分 $∠ CAB$ ，与 $CD$ 相交于点 $E$ ．

方法2：如图3，作 $∠ DCF = ∠ DCB$ ，与 $AB$ 相交于点 $F$ ．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $AC = AD$ ．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $ΔABC$ 中，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $∠ BDE = 2 ∠ ABC$ ，点 $F$ 在 $BD$ 上，且 $∠ AFE = ∠ BAC$ ，延长 $DC$ 、 $FE$ ，相交于点 $G$ ，且 $∠ DGF = ∠ BDE$ ．

①在图中找出与 $∠ DEF$ 相等的角，并加以证明；

②若 $AB = kDF$ ，猜想线段 $DE$ 与 $DB$ 的数量关系，并证明你的猜想．

如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAD = 90 °$ ，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $∠ DEC = ∠ BAC$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AC / / DE$ ，当 $AB = 8$ ， $CE = 2$ 时，求 $AC$ 的长．