（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）若-优题课

题文

（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数．
（Ⅰ）若方程无实数根，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数是内的减函数，求实数的取值范围．

科目数学题型解答题难度较难

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如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告之在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船.

（1）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（2）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，求∠ACB的正弦值.

已知两条直线,相交于点.
（1）求交点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线的方程.

等差数列的前项和为，已知.
（1）求通项公式；
（2）若求.

已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x + a, x < 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases}$ ，其中 $a$ 是实数，设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为该函数图象上的点，且 $x_{1} < x_{2}$ ．
（I）指出函数 $f (x)$ 的单调区间；
（II）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$ ，求 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值；
（III）若函数 $f (x)$ 的图象在点 $A, B$ 处的切线重合，求 $a$ 取值范围．

已知椭圆 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的两个焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，且椭圆 $C$ 经过点 $P (\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ ．
（I）求椭圆 $C$ 的离心率：
（II）设过点 $A (0, 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $M N$ 上的点，且 $\frac{2}{| A Q |^{2}} = \frac{1}{| A M |^{2}} + \frac{1}{| A N |^{2}}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程．

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