（.河南省，第22题，10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B-优题课

（.河南省，第22题，10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

（1）问题发现
① 当时，；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.

科目数学题型解答题难度中等

已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 2, AD = 5$ .点 $E$ 是 $AD$ 边上一动点，连接 $BE, CE$ ，以 $BE$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作于 $FH ⊥ CE$ 于点 $H$ .

（1）当直线 $FH$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $AE$ 的长;

（2）当 $FH / / BE$ 时，求 $AE$ 的长;

（3）若线段 $FH$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，在点 $E$ 运动过程中， $△ OFG$ 能否成为等腰直角三角形?如果能，求出此时 $AE$ 的长，如果不能，说明理由.

如图，已知矩形 $ABCD, AB = 12 cm, AD = 10 cm, ⊙ O$ 与 $AD, AB, BC$ 三边都相切，与 $DC$ 交于点 $E, F$ .已知点 $P, Q, R$ 分别从 $D, A, B$ 三点同时出发，沿矩形 $ABCD$ 的边逆时针方向匀速运动，点 $P, Q, R$ 的运动速度分别是 $1 cm / s, x cm / s, 1.5 cm / s$ ，当点 $Q$ 到达点 $B$ 时停止运动， $P, R$ 两点同时停止运动.设运动时间为 $t$ （单位: $s$ ）.

（1）求证: $DE = CF$ ;

（2）设 $x = 3$ ，当 $△ PAQ$ 与 $△ QBR$ 相似时，求出 $t$ 的值;

（3）设 $△ PAQ$ 关于直线 $PQ$ 对称的图形是 $△ P A^{'} Q$ ，当 $t$ 和 $x$ 分别为何值时，点 $A^{'}$ 与圆心 $O$ 恰好重合，求出符合条件的 $t, x$ 的值.

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴相交于 $B (1, 0), C (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴的正半轴相交于 $A$ 点，过 $A, B, C$ 三点的 $⊙ P$ 与 $y$ 轴相切于点 $A$ .

（1）请求出点 $A$ 坐标和 $⊙ P$ 的半径;

（2）请确定抛物线的解析式;

（3） $M$ 为 $y$ 轴负半轴上的一个动点，直线 $MB$ 交 $⊙ P$ 于点 $D$ .若 $△ AOB$ 与以 $A, B, D$ 为顶点的三角形相似，求 $MB \cdot MD$ 的值（先画出符合题意的示意图再求解）.

如图，锐角 $△ ABC$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知二次函数 $y = x^{2} cos A - x + \frac{1}{cos A}$ 的图象顶点与点 $(- 2 cos A, 3 cos A)$ 关于 $y$ 轴对称.延长 $AB$ 至 $P$ 点，使 $AP = 2 AC$ ，且以 $C$ 为圆心， $AC$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心 $BP$ 为半径的圆相外切.

（1）求 $∠ A$ 的度数;

（2）设 $BP = r$ ，求 $a : b : c$ 的值;

（3）若关于 $t$ 的方程 $3 t^{2} - 3 ct + (a + b) = 0$ 的两个根 $α, β$ 满足 $α (α + 1) + β (β + 1) = (α + 1) (β + 1)$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

如图，已知直线 $l : y = kx + 2 (k < 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，以 $OA$ 为直径的 $⊙ P$ 交 $l$ 于另一点 $D$ ，把弧 $AD$ 沿直线 $l$ 翻转后与 $OA$ 交于点 $E$ .

（1）当 $k = - 2$ 时，求 $OE$ 的长;

（2）是否存在实数 $k (k < 0)$ ，使沿直线 $l$ 把弧 $AD$ 翻转后所得的弧与 $OA$ 相切?若存在，请求出此时 $k$ 的值;若不存在，请说明理由.