质量为M，倾角为30°的光滑斜面静止在粗糙的水平地面上，斜面-优题课

在一种新的"子母球"表演中，让同一竖直线上的小球 $A$ 和小球 $B$ ，从距水平地面高度为 $p h$ （ $h$ ＞1）和 $h$ 的地方同时由静止释放，如图所示。球 $A$ 的质量为 $m$ ，球 $B$ 的质量为 $3 m$ 。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为 $g$ ，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。

（1）求球 $B$ 第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球 $B$ 在第一次上升过程中就能与球 $A$ 相碰，求 $p$ 的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球 $A$ 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求 $p$ 应满足的条件。

如图所示，半径为 $R$ 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴 $O O `$ 重合。转台以一定角速度 $ω$ 匀速转动，一质量为 $m$ 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和 $O$ 点的连线与 $O O `$ 之间的夹角 $θ$ 为60°。重力加速度大小为 $g$ 。

（1）若 $ω = ω_{0}$ ，小物块受到的摩擦力恰好为零，求 $ω_{0}$ ；
（2） $ω = (1 \pm k) ω_{0}$ ，且 $0 < k < 1$ ，求小物块受到的摩擦力大小和方向。

为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨。潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如下。在直线通道内充满电阻率 $p = 0.2 Ω \cdot m$ 的海水，通道中a $a \times b \times c = 0.3 m \times 0.4 m \times 0.3 m$ 的空间内，存在由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度 $B = 6.4 T$ 、方向垂直通道侧面向外。磁场区域上、下方各有 $a \times b = 0.3 m \times 0.4 m$ 的金属板 $M$ 、 $N$ ，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从 $N$ 到 $M$ ，大小恒为 $I = 1.0 \times 10^{3} A$ 的电流，设电流只存在于磁场区域。不计电源内阻及导线电阻，海水密度 $p = 1.0 \times 103 k g / m^{3}$ 。

（1）求一个直线通道推进器内磁场对通电海水的作用力大小，并判断其方向。
（2）在不改变潜艇结构的前提下，简述潜艇如何转弯？如何倒车？
（3）当潜艇以恒定速度 $v_{0} = 30 m / s$ 前进时，海水在出口处相对于推进器的速度 $v = 34 m / s$ ，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小。

"电子能量分析器"主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为 $R_{A}$ 和 $R_{B}$ 的同心圆金属半球面 $A$ 和 $B$ 构成， $A$ 、 $B$ 为电势值不等的等势面，其过球心的截面如图所示。一束电荷量为 $e$ 、质量为 $m$ 的电子以不同的动能从偏转器左端 $M$ 的正中间小孔垂直入射，进入偏转电场区域，最后到达偏转器右端的探测板 $N$ ，其中动能为 $E_{k 0}$ 的电子沿等势面 $C$ 做匀速圆周运动到达N板的正中间。忽略电场的边缘效应。

（1）判断球面 $A$ 、 $B$ 的电势高低，并说明理由；

（2）求等势面 $C$ 所在处电场强度E的大小；

（3）若半球面 $A$ 、 $B$ 和等势面 $C$ 的电势分别为 $φ_{A}$ 、 $φ_{B}$ 和 $φ_{C}$ ，则到达N板左、右边缘处的电子，经过偏转电场前、后的动能改变量 $Δ E_{K 左}$ 和 $Δ E_{K 右}$ 分别为多少？

（4）比较 $| Δ E_{K 左} |$ 和 $| Δ E_{K 右} |$ 的大小，并说明理由。

山谷中有三块大石头和一根不可伸长的青之青藤，其示意图如下。图中 $A 、 B 、 C 、 D$ 均为石头的边缘点， $O$ 为青藤的固定点， $h_{1} = 1.8 m$ ， $h_{2} = 4.0 m ， x_{1} = 4.8 m ， x_{2} = 8.0 m$ 。开始时，质量分别为 $M = 10 k g 和 m = 2 k g$ 的大小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头 $A$ 点起水平跳到中间石头，大猴抱起小猴跑到 $C$ 点，抓住青藤的下端荡到右边石头的 $D$ 点，此时速度恰好为零。运动过程中猴子均看成质点，空气阻力不计，重力加速度 $g = 10 m / s^{2}$ ，求：

（1）大猴子水平跳离的速度最小值；
（2）猴子抓住青藤荡起时的速度大小；

（3）荡起时，青藤对猴子的拉力大小。