已知椭圆
的两个焦点为
、
，离心率为
，直线
与椭圆相交于
、
两点，且满足
，
，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
的面积为定值．
已知
是实数，函数
，
和
，分别是
的导函数，若
在区间
上恒成立，则称
和
在区间上单调性一致．
（Ⅰ）设
，若函数和在区间
上单调性一致，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）设
且
，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．
如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（Ⅰ）设直线的斜率分别为
，求证：
为定值；
（Ⅱ）求线段
的长的最小值；
（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率
．设某商品标价为
元，购买该商品得到的实际折扣率为
．
（Ⅰ）写出当
时，关于的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；
（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于
？
如图，在四棱锥
中，侧棱
底面
，底面为矩形，
为
上一点，
，
．
（I）若
为
的中点，求证
平面
；
（II）求三棱锥
的体积．
在
中，角
所对的边分别为
，且
.
（Ⅰ）求函数
的最大值；
（Ⅱ）若
，
，
，求
的值．