如图，在⊙O中，已知AC＝BD，试说明：（1）OC＝OD；（-优题课

如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：

次数	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次	第6次	第7次	第8次	第9次	第10次
数字	3	5	2	3	3	4	3	5

（1）求前8次的指针所指数字的平均数．

（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次． $)$

自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡 $AB = 200$ 米，坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ；将斜坡 $AB$ 的高度 $AE$ 降低 $AC = 20$ 米后，斜坡 $AB$ 改造为斜坡 $CD$ ，其坡度为 $1 : 4$ ．求斜坡 $CD$ 的长．（结果保留根号）

已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 \\ x - 2 y = k \end{matrix}$ 的解满足 $x > y$ ，求 $k$ 的取值范围．

（1）方法选择

如图①，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $AB = BC = AC$ ．求证： $BD = AD + CD$ ．

小颖认为可用截长法证明：在 $DB$ 上截取 $DM = AD$ ，连接 $AM \dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $CD$ 至点 $N$ ，使得 $DN = AD \dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = AC$ ．试用等式表示线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ABC = 30 °$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　 $BD = \sqrt{3} CD + 2 AD$ 　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，连接 $AC$ ， $BD$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC : AC : AB = a : b : c$ ，则线段 $AD$ ， $BD$ ， $CD$ 之间的等量关系式是　　．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 10 cm$ ， $E$ 为对角线 $BD$ 上一动点，连接 $AE$ ， $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ AE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ． $E$ 点从 $B$ 点出发，沿着 $BD$ 方向以每秒 $2 cm$ 的速度运动，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，运动停止．设 $ΔBEF$ 的面积为 $yc m^{2}$ ， $E$ 点的运动时间为 $x$ 秒．

（1）求证： $CE = EF$ ；

（2）求 $y$ 与 $x$ 之间关系的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔBEF$ 面积的最大值．