利用直尺和圆规作一个大小为45°的角．（不写作法，保留作图痕-优题课

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $ABCD$ 是对余四边形，则 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的度数之和为　　；

证明：

（2）如图1， $MN$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AM$ ， $CN$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $ABCD$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $ABCD$ 中， $AB = BC$ ， $∠ ABC = 60 °$ ，探究线段 $AD$ ， $CD$ 和 $BD$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．

（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？

（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩 $m$ 盒 $(m$ 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 $m$ 的代数式表示．

（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付 $w$ 元，求 $w$ 关于 $m$ 的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $O$ 在 $AC$ 上，以 $OA$ 为半径的半圆 $O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $DF$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BF = DF$ ；

（2）若 $AC = 4$ ， $BC = 3$ ， $CF = 1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 $t$ （单位： $\min)$ ，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．

在线阅读时间频数分布表

根据以上图表，答案下列问题：

（1）这次被调查的同学共有　　人， $a =$ 　　， $m =$ 　　；

（2）求扇形统计图中扇形 $D$ 的圆心角的度数；

（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 $50 \min$ ？

如图，已知一次函数 $y_{1} = kx + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A (6, 1)$ ， $B (a, - 3)$ 两点，连接 $OA$ ， $OB$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2） $ΔAOB$ 的面积为　　；

（3）直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．