（本小题满分10分）（1）设函数,其中θ∈,求导数的取值范围-优题课

已知函数 $f (x) = a e^{x} - lnx - 1$ ．

（1）设 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点．求 $a$ ，并求 $f (x)$ 的单调区间；

（2）证明：当 $a \geq \frac{1}{e}$ 时， $f (x) \geq 0$ ．

设抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，点 $A (2 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $BM$ 的方程；

（2）证明： $∠ ABM = ∠ ABN$ ．

某家庭记录了未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量数据（单位： $m^{3}$ ）和使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0, 0.1)$	$[0.1, 0.2)$	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6)$	$[0.6, 0.7)$
频数	$1$	$3$	$2$	$4$	$9$	$26$	$5$

使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量频数分布表

日用水量	$[0, 0.1)$	$[0.1, 0.2)$	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6)$
频数	$1$	$5$	$13$	$10$	$16$	$5$

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 $50$ 天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35 m^{3}$ 的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 $365$ 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

如图，在平行四边形 $ABCM$ 中， $AB = AC = 3$ ， $∠ ACM = 90 °$ ，以 $AC$ 为折痕将△ $ACM$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位置，且．

（1）证明：平面 $ACD ⊥$ 平面 $ABC$ ；

（2） $Q$ 为线段 $AD$ 上一点， $P$ 为线段 $BC$ 上一点，且，求三棱锥的体积．

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}$ ，设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ．

（1）求 $b_{1} ， b_{2} ， b_{3}$ ；

（2）判断数列 $\{b_{n}\}$ 是否为等比数列，并说明理由；

（3）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．