（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题-优题课

（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为米，高米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元（为圆周率）．
（1）将表示成的函数，并求函数的定义域；
（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．

科目数学题型解答题难度中等

在 $ΔABC$ ，已知 $2 \vec{AB} \cdot \vec{AC} = \sqrt{3} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| = 3 B C^{2}$ ，求角A，B，C的大小。

已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{2} | + | x + \frac{1}{2} |$ ， M为不等式 $f (x) ＜ 2$ 的解集.

（1）求 $M$ ；

（2）证明：当 $a, b \in M$ 时， $∣ a + b ∣ ＜ ∣ 1 + ab ∣$ 。

在直线坐标系 $x O y$ 中，圆 C的方程为 ${(x + 6)}^{2} + y^{2} = 25$ .

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C的极坐标方程；

（2）直线 l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix} （ t 为参数）$ , l与 C交于 A、 B两点， $∣ AB ∣ = \sqrt{10}$ ，求 l的斜率。

如图，在正方形 $ABCD$ ， $E, G$ 分别在边 $DA, DC$ 上（不与端点重合），且 $DE = DG$ ，过D点作 $DF ⊥ CE$ ，垂足为F.

（1）证明： $B, C, E, F$ 四点共圆；

（2）若 $AB = 1$ ，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（1）讨论函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 2} e^{x}$ 的单调性，并证明当 $x$ >0时， $(x - 2) e^{x} + x + 2 > 0;$

（2）证明：当 $a \in [0, 1)$ 时，函数 $g （ x ） = \frac{e^{x} - ax - a}{x^{2}} (x > 0)$ 有最小值.设 $g （ x ）$ 的最小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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