问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB90°，ACCB-优题课

问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．

[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌ ，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．
[实践运用]
（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

科目数学题型解答题难度中等

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $OB$ 与墙 $MN$ 平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $AO$ 为1.2米，当车门打开角度 $∠ AOB$ 为 $40 °$ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ； $\cos 40 ° \approx 0.77$ ； $\tan 40 ° \approx 0.84)$

在直角坐标系中，过原点 $O$ 及点 $A (8, 0)$ ， $C (0, 6)$ 作矩形 $OABC$ 、连接 $OB$ ，点 $D$ 为 $OB$ 的中点，点 $E$ 是线段 $AB$ 上的动点，连接 $DE$ ，作 $DF ⊥ DE$ ，交 $OA$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．已知点 $E$ 从 $A$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $AB$ 上移动，设移动时间为 $t$ 秒．

（1）如图1，当 $t = 3$ 时，求 $DF$ 的长．

（2）如图2，当点 $E$ 在线段 $AB$ 上移动的过程中， $∠ DEF$ 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan ∠ DEF$ 的值．

（3）连接 $AD$ ，当 $AD$ 将 $ΔDEF$ 分成的两部分的面积之比为 $1 : 2$ 时，求相应的 $t$ 的值．

问题背景

如图1，在正方形 $ABCD$ 的内部，作 $∠ DAE = ∠ ABF = ∠ BCG = ∠ CDH$ ，根据三角形全等的条件，易得 $ΔDAE ≅ ΔABF ≅ ΔBCG ≅ ΔCDH$ ，从而得到四边形 $EFGH$ 是正方形．

类比探究

如图2，在正 $ΔABC$ 的内部，作 $∠ BAD = ∠ CBE = ∠ ACF$ ， $AD$ ， $BE$ ， $CF$ 两两相交于 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点 $(D$ ， $E$ ， $F$ 三点不重合）

（1） $ΔABD$ ， $ΔBCE$ ， $ΔCAF$ 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．

（2） $ΔDEF$ 是否为正三角形？请说明理由．

（3）进一步探究发现， $ΔABD$ 的三边存在一定的等量关系，设 $BD = a$ ， $AD = b$ ， $AB = c$ ，请探索 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足的等量关系．

定义：如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在该抛物线上 $(P$ 点与 $A$ 、 $B$ 两点不重合），如果 $ΔABP$ 的三边满足 $A P^{2} + B P^{2} = A B^{2}$ ，则称点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P (1, \sqrt{3})$ 是抛物线 $C$ 的勾股点，求抛物线 $C$ 的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 在抛物线 $C$ 上，求满足条件 $S_{ΔABQ} = S_{ΔABP}$ 的 $Q$ 点（异于点 $P)$ 的坐标．

“五 $\cdot$ 一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以下信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为 $x$ 小时，租用甲公司的车所需费用为 $y_{1}$ 元，租用乙公司的车所需费用为 $y_{2}$ 元，分别求出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．