（·辽宁盘锦）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边的中点，过点 $D$ 作 $DE / / AB$ ，并与 $AC$ 交于点 $E$ ，延长 $DE$ 到点 $F$ ，使得 $EF = DE$ ，连接 $AF$ ．

求证： $AF / / BC$ ．

如图，已知 $∠ AOB$ ，点 $M$ 在边 $OA$ 上．请用尺规作图法求作 $⊙ M$ ，使 $⊙ M$ 与边 $OB$ 相切．（保留作图痕迹，不写作法）

问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 120 °$ ， $AB = AC = 5$ ，则 $ΔABC$ 的外接圆半径 $R$ 的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $⊙ O$ 的半径为13，弦 $AB = 24$ ， $M$ 是 $AB$ 的中点， $P$ 是 $⊙ O$ 上一动点，求 $PM$ 的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $AB$ 、 $AC$ 、 $\hat{BC}$ 是某新区的三条规划路，其中 $AB = 6 km$ ， $AC = 3 km$ ， $∠ BAC = 60 °$ ， $\hat{BC}$ 所对的圆心角为 $60 °$ ，新区管委会想在 $\hat{BC}$ 路边建物资总站点 $P$ ，在 $AB$ ， $AC$ 路边分别建物资分站点 $E$ 、 $F$ ，也就是，分别在 $\hat{BC}$ 、线段 $AB$ 和 $AC$ 上选取点 $P$ 、 $E$ 、 $F$ ．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P \to E \to F \to P$ 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $PE$ 、 $EF$ 和 $FP$ ．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $PE$ 、 $EF$ 、 $FP$ 之和最短，试求 $PE + EF + FP$ 的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

已知抛物线 $L : y = x^{2} + x - 6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标，并求 $ΔABC$ 的面积；

（2）将抛物线 $L$ 向左或向右平移，得到抛物线 $L'$ ，且 $L'$ 与 $x$ 轴相交于 $A^{'}$ 、 $B'$ 两点（点 $A'$ 在点 $B'$ 的左侧），并与 $y$ 轴相交于点 $C'$ ，要使△ $A^{'} B' C'$ 和 $ΔABC$ 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以斜边 $AB$ 上的中线 $CD$ 为直径作 $⊙ O$ ，分别与 $AC$ 、 $BC$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．

（1）过点 $N$ 作 $⊙ O$ 的切线 $NE$ 与 $AB$ 相交于点 $E$ ，求证： $NE ⊥ AB$ ；

（2）连接 $MD$ ，求证： $MD = NB$ ．