（·吉林长春）如图，是外角的平分线，交于点交于点，交于点交于-优题课

2020年7月23日，我国首次火星探测"天问一号"探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面 $O$ 处发射，当火箭到达点 $A$ 时，地面 $D$ 处的雷达站测得 $AD = 4000$ 米，仰角为 $30 ° . 3$ 秒后，火箭直线上升到达点 $B$ 处，此时地面 $C$ 处的雷达站测得 $B$ 处的仰角为 $45 °$ ． $O$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上，已知 $C$ ， $D$ 两处相距460米，求火箭从 $A$ 到 $B$ 处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414)$

某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立100周年书画展评活动，全校征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填"普查"或"抽样调查" $)$ ，王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示 $C$ 班的扇形圆心角的度数为　　；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1件作品的作者是男生，3件作品的作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} - 1$ ．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且 $OC = 2 OA$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ ．直线 $y = mx + n$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线及直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）点 $F$ 是抛物线对称轴上一点，当 $FA + FC$ 的值最小时，求出点 $F$ 的坐标及 $FA + FC$ 的最小值；

（3）连接 $AC$ ，若点 $P$ 是抛物线上对称轴右侧一点，点 $Q$ 是直线 $BC$ 上一点，试探究是否存在以点 $E$ 为直角顶点的 $Rt Δ PEQ$ ，且满足 $\tan ∠ EQP = \tan ∠ OCA$ ．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

有公共顶点 $A$ 的正方形 $ABCD$ 与正方形 $AEGF$ 按如图1所示放置，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ 和 $AD$ 上，连接 $BF$ ， $DE$ ， $M$ 是 $BF$ 的中点，连接 $AM$ 交 $DE$ 于点 $N$ ．

【观察猜想】

（1）线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的数量关系是　　，位置关系是　　；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形 $AEGF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ ，点 $G$ 恰好落在边 $AB$ 上，如图2，其他条件不变，线段 $DE$ 与 $AM$ 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．