如图，在△ABC中，ABAC，∠DAC是△ABC的一个外角．-优题课

如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实践与操作：
根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．

科目数学题型解答题难度中等

如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且 $BP ＝ CQ$ ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．

（1）求证： $AP ⊥ BQ$ ；

（2）若 $AB ＝ 3$ ， $BP ＝ 2 PC$ ，求QM的长；

（3）当 $BP ＝ m$ ， $PC ＝ n$ 时，求AM的长．

周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y（km）与小芳离家时间x（h）的函数图象．

（1）小芳骑车的速度为　　km/h，H点坐标　　．

（2）小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？

（3）相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地（彼此交流时间忽略不计），求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式： $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ ．

解：设 $x^{2} ﹣ 5 x ＝ 0$ ，解得： $x_{1} ＝ 0 ， x_{2} ＝ 5$ ，则抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 5 x$ 与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数 $y ＝ x^{2} ﹣ 5 x$ 的大致图象（如图所示），由图象可知：当 $x ＜ 0$ ，或 $x ＞ 5$ 时函数图象位于x轴上方，此时 $y ＞ 0$ ，即 $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ ，所以，一元二次不等式 $x^{2} ﹣ 5 x ＞ 0$ 的解集为： $x ＜ 0$ ，或 $x ＞ 5$ ．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的　　和　　．（只填序号）

①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想

（2）一元二次不等式 $x^{2} ﹣ 5 x ＜ 0$ 的解集为　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式： $x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3 ＞ 0$ ．

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D

（1）求证： $△ BFD ∽ △ ABD$ ；

（2）求证： $DE ＝ DB$ ．

某商场计划购进A、B两种商品，若购进A种商品20件和B种商品15件需380元；若购进A种商品15件和B种商品10件需280元．

（1）求A、B两种商品的进价分别是多少元？

（2）若购进A、B两种商品共100件，总费用不超过900元，问最多能购进A种商品多少件？