如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点-优题课

如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

如图，一次函数 $y = kx + b (k$ 、 $b$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数且 $m \neq 0)$ 的图象在第二象限交于点 $C$ ， $CD ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，若 $OB = 2 OA = 3 OD = 6$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求两个函数图象的另一个交点 $E$ 的坐标；

（3）请观察图象，直接写出不等式 $kx + b ⩽ \frac{m}{x}$ 的解集．

如图，已知边长为10的正方形 $ABCD$ ， $E$ 是 $BC$ 边上一动点（与 $B$ 、 $C$ 不重合），连结 $AE$ ， $G$ 是 $BC$ 延长线上的点，过点 $E$ 作 $AE$ 的垂线交 $∠ DCG$ 的角平分线于点 $F$ ，若 $FG ⊥ BG$ ．

（1）求证： $ΔABE ∽ ΔEGF$ ；

（2）若 $EC = 2$ ，求 $ΔCEF$ 的面积；

（3）请直接写出 $EC$ 为何值时， $ΔCEF$ 的面积最大．

某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）

从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在 $80 ~ 90$ 分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的 $15 %$ ，且规定成绩大于或等于100分为优秀．

（1）求被抽查学生人数及成绩在 $100 ~ 110$ 分的学生人数 $m$ ；

（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；

（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．

（1）计算： ${(- 1)}^{2020} + {(π - 1)}^{0} \times {(\frac{2}{3})}^{- 2}$ ；

（2）先化简 $(\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，再从 $- 1$ ，0，1中选择合适的 $x$ 值代入求值．

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