（南充）已知关于x的一元二次方程，p为实数．（1）求证：方程-优题课

今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在 $A$ 处测得国旗 $D$ 处的仰角为 $45 °$ ，站在同一队列 $B$ 处的小刚测得国旗 $C$ 处的仰角为 $23 °$ ，已知小明目高 $AE = 1.4$ 米，距旗杆 $CG$ 的距离为15.8米，小刚目高 $BF = 1.8$ 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 $CD$ 是多少米？（最后结果保留一位小数）

（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907$ ， $\cos 23 ° \approx 0.9205$ ， $\tan 23 ° \approx 0.4245)$

某汽车贸易公司销售 $A$ 、 $B$ 两种型号的新能源汽车， $A$ 型车进货价格为每台12万元， $B$ 型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台 $A$ 型车和5台 $B$ 型车，可获利3.1万元，销售1台 $A$ 型车和2台 $B$ 型车，可获利1.3万元．

（1）求销售一台 $A$ 型、一台 $B$ 型新能源汽车的利润各是多少万元？

（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购 $A$ 、 $B$ 两种新能源汽车共22台，问最少需要采购 $A$ 型新能源汽车多少台？

如图，在 $Rt Δ AOB$ 中， $AO ⊥ BO$ ， $AB ⊥ y$ 轴， $O$ 为坐标原点， $A$ 的坐标为 $(n, \sqrt{3})$ ，反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象的一支过 $A$ 点，反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象的一支过 $B$ 点，过 $A$ 作 $AH ⊥ x$ 轴于 $H$ ，若 $ΔAOH$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）求反比例函数 $y_{2}$ 的解析式．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y_{1} = - (x + 4) (x - n)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (n$ ， $0) (n ⩾ - 4)$ ，顶点坐标记为 $(h_{1}$ ， $k_{1})$ ．抛物线 $y_{2} = - {(x + 2 n)}^{2} - n^{2} + 2 n + 9$ 的顶点坐标记为 $(h_{2}$ ， $k_{2})$ ．

（1）写出 $A$ 点坐标；

（2）求 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的值（用含 $n$ 的代数式表示）

（3）当 $- 4 ⩽ n ⩽ 4$ 时，探究 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 的大小关系；

（4）经过点 $M (2 n + 9, - 5 n^{2})$ 和点 $N (2 n, 9 - 5 n^{2})$ 的直线与抛物线 $y_{1} = - (x + 4) (x - n)$ ， $y_{2} = - {(x + 2 n)}^{2} - n^{2} + 2 n + 9$ 的公共点恰好为3个不同点时，求 $n$ 的值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $E$ 是边 $AB$ 上一点， $BE = BC$ ， $EF ⊥ CD$ ，垂足为 $F$ ．将四边形 $CBEF$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，得到四边形 $C B^{'} E^{'} F'$ ， $B' E'$ 所在的直线分别交直线 $BC$ 于点 $G$ ，交直线 $AD$ 于点 $P$ ，交 $CD$ 于点 $K$ ． $E' F'$ 所在的直线分别交直线 $BC$ 于点 $H$ ，交直线 $AD$ 于点 $Q$ ，连接 $B' F'$ 交 $CD$ 于点 $O$ ．

（1）如图1，求证：四边形 $BEFC$ 是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$ 和点 $D$ 重合时．

①求证： $GC = DC$ ；

②若 $OK = 1$ ， $CO = 2$ ，求线段 $GP$ 的长；

（3）如图3，若 $BM / / F' B'$ 交 $GP$ 于点 $M$ ， $\tan ∠ G = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{S_{ΔGMB}}{S_{△ CF' H}}$ 的值．