（宜宾）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD-优题课

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2} - 4$ 分别与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴相交于点 $C (0, - 3)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断 $ΔBCM$ 是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点 $N$ （点 $N$ 与点 $M$ 不重合），使得以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $N$ 为顶点的四边形的面积与四边形 $ABMC$ 的面积相等？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①， $AD$ 为等腰直角 $ΔABC$ 的高，点 $A$ 和点 $C$ 分别在正方形 $DEFG$ 的边 $DG$ 和 $DE$ 上，连接 $BG$ ， $AE$ ．

（1）求证： $BG = AE$ ；

（2）将正方形 $DEFG$ 绕点 $D$ 旋转，当线段 $EG$ 经过点 $A$ 时，（如图②所示）

①求证： $BG ⊥ GE$ ；

②设 $DG$ 与 $AB$ 交于点 $M$ ，若 $AG : AE = 3 : 4$ ，求 $\frac{GM}{MD}$ 的值．

某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有 $A$ ， $B$ 型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：

经测算，租用 $A$ ， $B$ 型客车共13辆较为合理，设租用 $A$ 型客车 $x$ 辆，根据要求回答下列问题：

（1）用含 $x$ 的代数式填写下表：

（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ ， $AC$ 分别交于 $D$ ， $E$ 两点，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$ ．

（1）判断 $DH$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$ 为 $CE$ 的中点；

（3）若 $BC = 10$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $AE$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 4, - 2)$ ， $B (m, 4)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求点 $C$ 的坐标及 $ΔAOB$ 的面积．