（资阳）如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，-优题课

如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ，点 $C$ ，对称轴为 $x = 1$ 的抛物线过 $B$ ， $C$ 两点，且交 $x$ 轴于另一点 $A$ ，连接 $AC$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点 $P$ 为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点 $Q$ （点 $C$ 除外），使以点 $Q$ ， $A$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）证明推断：如图（1），在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $Q$ 分别在边 $BC$ ， $AB$ 上， $DQ ⊥ AE$ 于点 $O$ ，点 $G$ ， $F$ 分别在边 $CD$ ， $AB$ 上， $GF ⊥ AE$ ．

①求证： $DQ = AE$ ；

②推断： $\frac{GF}{AE}$ 的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形 $ABCD$ 中， $\frac{BC}{AB} = k (k$ 为常数）．将矩形 $ABCD$ 沿 $GF$ 折叠，使点 $A$ 落在 $BC$ 边上的点 $E$ 处，得到四边形 $FEPG$ ， $EP$ 交 $CD$ 于点 $H$ ，连接 $AE$ 交 $GF$ 于点 $O$ ．试探究 $GF$ 与 $AE$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 $CP$ ，当 $k = \frac{2}{3}$ 时，若 $\tan ∠ CGP = \frac{3}{4}$ ， $GF = 2 \sqrt{10}$ ，求 $CP$ 的长．

襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示：

有机蔬菜种类	进价（元 $/ kg)$	售价（元 $/ kg)$
甲	$m$	16
乙	$n$	18

（1）该超市购进甲种蔬菜 $10 kg$ 和乙种蔬菜 $5 kg$ 需要170元；购进甲种蔬菜 $6 kg$ 和乙种蔬菜 $10 kg$ 需要200元．求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 $100 kg$ 进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于 $20 kg$ ，且不大于 $70 kg$ ．实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过 $60 kg$ 的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额 $y$ （元 $)$ 与购进甲种蔬菜的数量 $x (kg)$ 之间的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润额 $y$ （元 $)$ 取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$ 元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于 $20 %$ ，求 $a$ 的最大值．

如图，点 $E$ 是 $ΔABC$ 的内心， $AE$ 的延长线和 $ΔABC$ 的外接圆 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ，过 $D$ 作直线 $DG / / BC$ ．

（1）求证： $DG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $DE = 6$ ， $BC = 6 \sqrt{3}$ ，求优弧 $\hat{BAC}$ 的长．

如图，已知一次函数 $y_{1} = kx + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象在第一、第三象限分别交于 $A (3, 4)$ ， $B (a, - 2)$ 两点，直线 $AB$ 与 $y$ 轴， $x$ 轴分别交于 $C$ ， $D$ 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）比较大小： $AD$ 　　 $BC$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”或“ $=$ ” $)$ ；

（3）直接写出 $y_{1} < y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．