老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装-优题课

老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．

科目数学题型解答题难度中等

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ ， $BC$ 上，且 $DE = CF$ ，点 $P$ 在射线 $BC$ 上（点 $P$ 不与点 $F$ 重合）．将线段 $EP$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $EG$ ，过点 $E$ 作 $GD$ 的垂线 $QH$ ，垂足为点 $H$ ，交射线 $BC$ 于点 $Q$ ．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $CD$ 的中点，点 $P$ 在线段 $BF$ 上，线段 $BP$ ， $QC$ ， $EC$ 的数量关系为　　．

（2）如图2，若点 $E$ 不是 $CD$ 的中点，点 $P$ 在线段 $BF$ 上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形 $ABCD$ 的边长为6， $AB = 3 DE$ ， $QC = 1$ ，请直接写出线段 $BP$ 的长．

某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的 $60 %$ ．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？

如图，学校教学楼上悬挂一块长为 $3 m$ 的标语牌，即 $CD = 3 m$ ．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点 $D$ 到地面的距离．测角仪支架高 $AE = BF = 1.2 m$ ，小明在 $E$ 处测得标语牌底部点 $D$ 的仰角为 $31 °$ ，小红在 $F$ 处测得标语牌顶部点 $C$ 的仰角为 $45 °$ ， $AB = 5 m$ ，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点 $D$ 到地面的距离 $DH$ 的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $H$ 在同一平面内）

（参考数据： $\tan 31 ° \approx 0.60$ ， $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86)$

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CA = CB$ ，点 $O$ 在 $ΔABC$ 的内部， $⊙ O$ 经过 $B$ ， $C$ 两点，交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $CO$ 并延长交 $AB$ 于点 $G$ ，以 $GD$ ， $GC$ 为邻边作 $▱ GDEC$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由．

（2）若点 $B$ 是 $\hat{DBC}$ 的中点， $⊙ O$ 的半径为2，求 $\hat{BC}$ 的长．

为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉 $2 m^{2}$ ，乙种花卉 $3 m^{2}$ ，共需430元；种植甲种花卉 $1 m^{2}$ ，乙种花卉 $2 m^{2}$ ，共需260元．

（1）求：该社区种植甲种花卉 $1 m^{2}$ 和种植乙种花卉 $1 m^{2}$ 各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共 $75 m^{2}$ 且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？

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