在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为-优题课

在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（﹣2，﹣4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个．
（1）若点M（2，a）是反比例函数（k为常数，）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；
（2）函数（m为常数，）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = \frac{m}{x} (m$ 为常数， $m > 1$ ， $x > 0)$ 的图象经过点 $P (m, 1)$ 和 $Q (1, m)$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $C$ ， $D$ 两点，点 $M (x, y)$ 是该函数图象上的一个动点，过点 $M$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A$ ， $B$ ．

（1）求 $∠ OCD$ 的度数；

（2）当 $m = 3$ ， $1 < x < 3$ 时，存在点 $M$ 使得 $ΔOPM ∽ ΔOCP$ ，求此时点 $M$ 的坐标；

（3）当 $m = 5$ 时，矩形 $OAMB$ 与 $ΔOPQ$ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AD$ 是边 $BC$ 上的中线， $∠ BAD = ∠ CAD$ ， $CE / / AD$ ， $CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$ ， $BC = 8$ ， $AD = 3$ ．

（1）求 $CE$ 的长；

（2）求证： $ΔABC$ 为等腰三角形．

（3）求 $ΔABC$ 的外接圆圆心 $P$ 与内切圆圆心 $Q$ 之间的距离．

随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．

（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$ 、 $B$ 两地间的公路进行改建．如图， $A$ 、 $B$ 两地之间有一座山，汽车原来从 $A$ 地到 $B$ 地需途经 $C$ 地沿折线 $ACB$ 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $AB$ 行驶．已知 $BC = 80$ 千米， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 30 °$ ．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次调查一共抽取了　　名居民；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？