（南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐-优题课

如图，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $AC$ 上一动点（点 $E$ 与点 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $DE$ ，作 $EF ⊥ DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $MN / / BC$ 分别交 $CD$ 、 $AB$ 于点 $M$ 、 $N$ ，作射线 $DF$ 交射线 $CA$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF = DE$ ；

（2）当 $AF = 2$ 时，求 $GE$ 的长．

为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元 $/$ 个，乙种型号水杯进价为45元 $/$ 个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况：

时间	销售数量（个 $)$		销售收入（元 $)$ （销售收入 $=$ 售价 $\times$ 销售数量）
时间	甲种型号	乙种型号	销售收入（元 $)$ （销售收入 $=$ 售价 $\times$ 销售数量）
第一月	22	8	1100
第二月	38	24	2460

（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；

（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种型号水杯 $a$ 个，利润为 $w$ 元，写出 $w$ 与 $a$ 的函数关系式，并求出第三月的最大利润．

遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位： $h)$ 的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

课外劳动时间频数分布表：

劳动时间分组	频数	频率
$0 ⩽ t < 20$	2	0.1
$20 ⩽ t < 40$	4	$m$
$40 ⩽ t < 60$	6	0.3
$60 ⩽ t < 80$	$a$	0.25
$80 ⩽ t < 100$	3	0.15

解答下列问题：

（1）频数分布表中 $a =$ 　　， $m =$ 　　；将频数分布直方图补充完整；

（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 $60 h$ 的人数；

（3）已知课外劳动时间在 $60 h ⩽ t < 80 h$ 的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加"全市中学生劳动体验"演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $∠ CAB$ 的平分线 $AD$ 交 $\hat{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE / / BC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ ．若 $OF = 1$ ， $BF = 2$ ，求 $BD$ 的长度．

某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门 $AD$ 的顶部 $A$ 处距地面高为 $2.2 m$ ，为了解自己的有效测温区间．身高 $1.6 m$ 的小聪做了如下实验：当他在地面 $N$ 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 $B$ 处测得 $A$ 的仰角为 $18 °$ ；在地面 $M$ 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 $C$ 处测得 $A$ 的仰角为 $60 °$ ．求小聪在地面的有效测温区间 $MN$ 的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到 $0.1 m$ ， $\sin 18 ° \approx 0.31$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ， $\tan 18 ° \approx 0.32)$