（崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙-优题课

（崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．
（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；
（2）设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

（1）计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 \sin 45 ° + {(- 2020)}^{0}$ ；

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} - (x - 1) > 3, \\ 2 x + 9 > 3 \cdot \end{matrix}$

小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为 $t$ （分钟），图1表示两人之间的距离 $s$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系的图象；图2中线段 $AB$ 表示小华和商店的距离 $y_{1}$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息答案下列问题：

（1）填空：妈妈骑车的速度是　　米 $/$ 分钟，妈妈在家装载货物所用时间是　　分钟，点 $M$ 的坐标是　　．

（2）直接写出妈妈和商店的距离 $y_{2}$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；

（3）求 $t$ 为何值时，两人相距360米．

实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在 $CD$ 上的点 $A^{'}$ 处，得到折痕 $DE$ ，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $E$ 的直线折叠，点 $C$ 恰好落在 $AD$ 上的点 $C'$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处，得到折痕 $EF$ ， $B^{'} C'$ 交 $AB$ 于点 $M$ ， $C' F$ 交 $DE$ 于点 $N$ ，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形 $AE A^{'} D$ 的形状是　　；

（2）如图2，线段 $MC'$ 与 $ME$ 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若 $AC' = 2 cm$ ， $D C^{'} = 4 cm$ ，求 $DN : EN$ 的值．

如图，直线 $AB$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，已知点 $A$ 的坐标为 $(6, 1)$ ， $ΔAOB$ 的面积为8．

（1）填空：反比例函数的关系式为　 $y = \frac{6}{x}$ 　；

（2）求直线 $AB$ 的函数关系式；

（3）动点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，当线段 $PA$ 与 $PB$ 之差最大时，求点 $P$ 的坐标．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的直线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，且 $∠ BAC = 2 ∠ BDE$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当 $CF = 2$ ， $BE = 3$ 时，求 $AF$ 的长．