（来宾）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC-优题课

如图所示，以 $ΔABC$ 的边 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $BD$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ A = ∠ CBD$ ，过点 $C$ 作 $CF ⊥ AB$ 于点 $F$ ，交 $BD$ 于点 $G$ ，过 $C$ 作 $CE / / BD$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $CG = BG$ ；

（3）若 $∠ DBA = 30 °$ ， $CG = 4$ ，求 $BE$ 的长．

2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡” $- -$ 罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮．某“火龙果”经营户有 $A$ 、 $B$ 两种“火龙果”促销，若买2件 $A$ 种“火龙果”和1件 $B$ 种“火龙果”，共需120元；若买3件 $A$ 种“火龙果”和2件 $B$ 种“火龙果”，共需205元．

（1）设 $A$ ， $B$ 两种“火龙果”每件售价分别为 $a$ 元、 $b$ 元，求 $a$ 、 $b$ 的值；

（2） $B$ 种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售 $B$ 种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元， $B$ 种“火龙果”每天的销售量就减少5件．

①求每天 $B$ 种“火龙果”的销售利润 $y$ （元 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时， $B$ 种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？

阅读材料：

一般地，当 $α$ 、 $β$ 为任意角时， $\tan (α + β)$ 与 $\tan (α - β)$ 的值可以用下面的公式求得： $\tan (α \pm β) = \frac{\tan α \pm \tan β}{1 \pm \tan α \cdot \tan β}$ ．

例如： $\tan 15 ° = \tan (45 ° - 30 °) = \frac{\tan 45 ° - \tan 30 °}{1 + \tan 45 ° \cdot \tan 30 °} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})}$

$= \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} = \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$ ．

根据以上材料，解决下列问题：

（1）求 $\tan 75 °$ 的值；

（2）都匀文峰塔，原名文笔塔，始建于明代万历年间，系五层木塔．文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基．1983年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔（图 $1)$ ，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，已知小华站在离塔底中心 $A$ 处5.7米的 $C$ 处，测得塔顶的仰角为 $75 °$ ，小华的眼睛离地面的距离 $DC$ 为1.72米，请帮助小华求出文峰塔 $AB$ 的高度．（精确到1米，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414)$

全面二孩政策于2016年1月1日正式实施，黔南州某中学对八年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项） $:$

$A$ ．非常愿意 $B$ ．愿意 $C$ ．不愿意 $D$ ．无所谓

如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题：

（1）试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图；

（2）若该年级共有450名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意” $)$ 爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？

（3）在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“不愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形 $ABC$ （顶点是网格线的交点）

（1）先将 $ΔABC$ 竖直向上平移5个单位，再水平向右平移4个单位得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕 $B_{1}$ 点顺时针旋转 $90 °$ ，得△ $A_{2} B_{1} C_{2}$ ，请画出△ $A_{2} B_{1} C_{2}$ ；

（3）求线段 $B_{1} C_{1}$ 变换到 $B_{1} C_{2}$ 的过程中扫过区域的面积．