（本大题满分12分）如图所示，有一块半径为
的半圆形钢板，设计剪裁成矩形ABCD的形状，它的边
在圆O的直径上，边CD的端点在圆周上，若设矩形的边
为
；
（1）将矩形的面积
表示为关于的函数，并求其定义域；
（2）求矩形面积的最大值及此时边的长度．
如图，线段AB的两个端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，
，点M是线段AB上一点，且
点M随线段AB的滑动而运动.
（I）求动点M的轨迹E的方程
（II）过定点N
的直线
交曲线E于C、D两点，交y轴于点P，若
的值
设抛物线
的准线
，焦点为
，顶点为
，
为抛物线上任意一点，
，
为垂足，求
与
的交点
的轨迹方程.
甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数
、
及任意的
，当甲公司投入
万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败的风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败的风险.
(1)请解释
的实际意义；
(2)当
时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能地少投入宣传费用，问此时甲、乙两公司应各投入多少宣传费用？
已知
：
， 
，若
的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
已知椭圆的焦点是
（1）求此椭圆的标准方程
（2）设点P在此椭圆上，且有
的值