已知圆
，圆
，动圆
与圆
外切并且与圆
内切，圆心的轨迹为曲线
．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）
是与圆以及圆都相切的一条直线，与曲线交于两点
，当圆的半径最长时，
求
的长．
已知椭圆的两个焦点
，
，过
且与坐标轴不平行的直线
与椭圆交于
两点，如果
的周长等于8。
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点
的直线
与椭圆交于不同两点
，试问在
轴上是否存在定点
，使
恒为定值？若存在，求出点
的坐标及定值;若不存在，说明理由。
如图，在底面为直角梯形的四棱锥
中
，
平面
，
，
，
．
⑴求证：
；
(2)设点
在棱上，
，若
∥平面
，求
的值.
某电视台举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训。下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”。
1、从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；
2、电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关？
| 甲班 |
乙班 |
合计 |
|
| 签约歌手 |
|||
| 末签约歌手 |
|||
| 合计 |
下面临界值表仅供参考：
| P（K2≥k） |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
| k |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
参考公式：K2=
,其中
在
ABC中，
所对边分别为
，且满足
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值.
甲乙两人各有一个箱子，甲的箱子里面放有
个红球，
个白球（
，且
）；乙的箱子里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从自己的箱子里任取2个球，乙从自己的箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色都不相同，则甲获胜．
(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？并求甲获胜的概率的最大值.
(2) 当甲获胜的概率取得最大值时，求取出的3个球中红球个数
的分布列．