化简及求值（本题16分，每题4分）（1）（2）（3），其中，-优题课

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 图象上的一个动点，连结 $AO$ ， $AO$ 的延长线交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $B$ ，过点 $A$ 作 $AE ⊥ y$ 轴于点 $E$ ．

（1）如图1，过点 $B$ 作 $BF ⊥ x$ 轴，于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

①若 $k = 1$ ，求证：四边形 $AEFO$ 是平行四边形；

②连结 $BE$ ，若 $k = 4$ ，求 $ΔBOE$ 的面积．

（2）如图2，过点 $E$ 作 $EP / / AB$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x < 0)$ 的图象于点 $P$ ，连结 $OP$ ．试探究：对于确定的实数 $k$ ，动点 $A$ 在运动过程中， $ΔPOE$ 的面积是否会发生变化？请说明理由．

已知在 $ΔACD$ 中， $P$ 是 $CD$ 的中点， $B$ 是 $AD$ 延长线上的一点，连结 $BC$ ， $AP$ ．

（1）如图1，若 $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ CAD = 60 °$ ， $BD = AC$ ， $AP = \sqrt{3}$ ，求 $BC$ 的长．

（2）过点 $D$ 作 $DE / / AC$ ，交 $AP$ 延长线于点 $E$ ，如图2所示，若 $∠ CAD = 60 °$ ， $BD = AC$ ，求证： $BC = 2 AP$ ．

（3）如图3，若 $∠ CAD = 45 °$ ，是否存在实数 $m$ ，当 $BD = mAC$ 时， $BC = 2 AP$ ？若存在，请写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有 $A$ ， $B$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	$A$	$B$	$A$ 和 $B$
门票价格	100元 $/$ 人	80元 $/$ 人	160元 $/$ 人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ ACD$ 是 $\hat{AD}$ 所对的圆周角， $∠ ACD = 30 °$ ．

（1）求 $∠ DAB$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ， $DE$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．若 $AB = 4$ ，求 $DF$ 的长．

为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了： $A$ ．党史宣讲； $B$ ．歌曲演唱； $C$ ．校刊编撰； $D$ ．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．

各组参加人数情况统计表

小组类别	$A$	$B$	$C$	$D$
人数（人 $)$	10	$a$	15	5

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）求 $a$ 和 $m$ 的值；

（2）求扇形统计图中 $D$ 所对应的圆心角度数；

（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：

小组类别	$A$	$B$	$C$	$D$
平均用时（小时）	2.5	3	2	3

求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．