【选修44：坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为（，为参数）-优题课

【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知圆的参数方程为（，为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线；以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上的动点，求点与曲线上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标系参数方程

如图，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程。
（Ⅱ）设动直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$ ，且与直线 $x = 4$ 相较于点 $Q$ 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由

如图,在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1} = A D = 1$ , $E$ 为 $C D$ 中点.

（Ⅰ）求证: $B_{1} E ⊥ A D_{1}$ ；
（Ⅱ）在棱 $A A_{1}$ 上是否存在一点 $P$ ,使得 $D P ∥$ 平面 $B_{1} A E$ ？若存在,求 $A P$ 的长；若不存在,说明理由.
（Ⅲ）若二面角 $A - B_{1} E A_{1}$ 的大小为 $30^{°}$ ,求 $A B$ 的长.

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin^{2} 13^{°} + \cos^{2} 17^{°} - \sin 13^{°} \cos 17^{°}$

（2） $\sin^{2} 15^{°} + \cos^{2} 15^{°} - \sin 15^{°} \cos 15^{°}$

（3） $\sin^{2} 18^{°} + \cos^{2} 12^{°} - \sin 18^{°} \cos 12^{°}$

（4） $\sin^{2} (- 18^{°}) + \cos^{2} 48^{°} - \sin^{2} (- 18^{°}) \cos^{2} 48^{°}$

（5） $\sin^{2} (- 25^{°}) + \cos^{2} 55 ° - \sin^{2} (- 25^{°}) \cos^{2} 55^{°}$

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数.
(Ⅱ)根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.

受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：

品牌	甲	乙
首次出现故障时间 $x$ （年）	$0 < x < 1$	$1 < x \leq 2$	$x > 2$	$0 < x \leq 2$	$x > 2$
轿车数量（辆）	2	3	45	5	45
每辆利润（万元）	1	2	3	1.8	2.9

将频率视为概率，解答下列问题：

（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(II)若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $X_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $X_{2}$ ，分别求 $X_{1}$ ， $X_{2}$ 的分布列；
（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由

设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记 $s (m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合。
对于 $A \in s (m, n)$ ,记 $r_{i} (A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（ $1 \leq i \leq m$ ）， $C_{j} A$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（ $1 \leq j \leq n$ ）：
记 $K (A)$ 为 $|R_{1} (A)|$ , $|R_{2} (A)|$ ,…, $|R_{m} (A)|$ , $|C_{1} (A)|$ , $|C_{2} (A)|$ ,…, $|C_{n} (A)|$ 中的最小值。

对如下数表 $A$ ，求 $K (A)$ 的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表 $A \in S$ （2,3）形如

1	1	$c$
$a$	$b$	-1

求 $K (A)$ 的最大值；
（3）给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S$ （2,2 $t$ +1），求 $K (A)$ 的最大值。

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