已知是定义在上的减函数，且满足以下条件：，．（1）求证：；（-优题课

已知是定义在上的减函数，且满足以下条件：
，．
（1）求证：；
（2）求不等式的解集．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：函数的基本性质

已知 $a$ 为正实数, $n$ 为自然数,抛物线 $y = - x^{2} + \frac{a_{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ,设 $f (n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距.
（1）用 $a$ 和 $n$ 表示 $f (n)$ ；
（2）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f (n) - 1}{f (n) + 1} \geq \frac{n^{3}}{n^{3} + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（3）当 $0 < a < 1$ 时,比较 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{f (k) - f (2 k)}$ 与 $\frac{27}{4} \cdot \frac{f (1) - f (n)}{f (0) - f (1)}$ 的大小,并说明理由.

如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

（Ⅰ）求轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q$ 、 $R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{n} = S_{2} + S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立。
（Ⅰ）求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值；
（Ⅱ）设 $a_{1} > 0$ ，数列 $\{l g \frac{10 a_{1}}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，当 $n$ 为何值时， $T_{n}$ 最大？并求出 $T_{n}$ 的最大值.

如图,在三棱锥 $P - A B C$ 中, $∠ A P B = 90^{°}, ∠ P A B = 60^{°}, A B = B C = C A$ ,平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

（Ⅰ）求直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

函数 $f (x) = 6 \cos^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \cos ω x - 3 (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ A B C$ 为正三角形。

（Ⅰ）求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；
（Ⅱ）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值。

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