将Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点F与点A重合），点-优题课

将Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放（点F与点A重合），点A、E、F、B在同一直线上，∠ACB＝∠DEF＝90°，∠BAC＝∠D＝30°，BC＝8cm，EF＝6cm．
如图2，△DEF从图1位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB下滑，DE与AC相交于点H，DF与AC相交于点G，设下滑时间为t（s）（0＜t≤6）．
（1）当t为何值时，点G在线段AE的垂直平分线上？
（2）是否存在某一时刻t，使B、C、D三点在同一条直线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△DEF与△ABC的重合部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式以及S的最大值（不需要给出解答过程）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图， $⊙ O$ 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_{n} (n$ 为 $1 ~ 12$ 的整数），过点 $A_{7}$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A_{1} A_{11}$ 延长线于点 $P$ ．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\hat{A_{7} A_{11}}$ 长度哪个更长；

（2）连接 $A_{7} A_{11}$ ，则 $A_{7} A_{11}$ 和 $P A_{1}$ 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P A_{7}$ 的值．

如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点 $P)$ 始终以 $3 km / \min$ 的速度在离地面 $5 km$ 高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点 $Q)$ 一直保持在1号机 $P$ 的正下方．2号机从原点 $O$ 处沿 $45 °$ 仰角爬升，到 $4 km$ 高的 $A$ 处便立刻转为水平飞行，再过 $1 \min$ 到达 $B$ 处开始沿直线 $BC$ 降落，要求 $1 \min$ 后到达 $C (10, 3)$ 处．

（1）求 $OA$ 的 $h$ 关于 $s$ 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求 $BC$ 的 $h$ 关于 $s$ 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离 $PQ$ 不超过 $3 km$ 的时长是多少．

$[$ 注：（1）及（2）中不必写 $s$ 的取值范围 $]$

某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．

（1）求嘉淇走到十字道口 $A$ 向北走的概率；

（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．

已知训练场球筐中有 $A$ 、 $B$ 两种品牌的乒乓球共101个，设 $A$ 品牌乒乓球有 $x$ 个．

（1）淇淇说：“筐里 $B$ 品牌球是 $A$ 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程： $101 - x = 2 x$ ．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；

（2）据工作人员透露： $B$ 品牌球比 $A$ 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明 $A$ 品牌球最多有几个．

某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元 $/$ 本、10元 $/$ 本．现购进 $m$ 本甲种书和 $n$ 本乙种书，共付款 $Q$ 元．

（1）用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $Q$ ；

（2）若共购进 $5 \times 10^{4}$ 本甲种书及 $3 \times 10^{3}$ 本乙种书，用科学记数法表示 $Q$ 的值．

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