已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）-优题课

题文

已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

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已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量 $X$ 为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求 $X$ 的分布列；
(Ⅱ)求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ．

已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 2|$

（1）当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；
（2）若 $f (x) \leq |x - 4|$ 的解集包含 $[1, 2]$ ，求 $a$ 的取值范围.

已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\{\begin{cases} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{cases} (φ 为参数)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的坐标系方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$

（1）求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
（2）设 $P$ 为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

如图， $D, E$ 分别为 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外接圆于 $F, G$ 两点，若 $C F ∥ A B$ ，证明：
（1） $C D = B C$ ；
（2） $△ B C D = △ G C B$

已知函数 $f (x)$ 满足满足 $f (x) = f ` (1) e^{x - 1} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f (x)$ 的解析式及单调区间；
（2）若 $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{2} + a x + b$ ，求 $(a + 1) b$ 的最大值.

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