如图，△ABC中，∠ACB90°，D、E分别是BC、BA的中-优题课

如图，半圆 $O$ 的直径 $AB = 4$ ，以长为2的弦 $PQ$ 为直径，向点 $O$ 方向作半圆 $M$ ，其中 $P$ 点在 $\hat{AQ}$ 上且不与 $A$ 点重合，但 $Q$ 点可与 $B$ 点重合．

发现： $\hat{AP}$ 的长与 $\hat{QB}$ 的长之和为定值 $l$ ，求 $l :$

思考：点 $M$ 与 $AB$ 的最大距离为　　，此时点 $P$ ， $A$ 间的距离为　　；

点 $M$ 与 $AB$ 的最小距离为　　，此时半圆 $M$ 的弧与 $AB$ 所围成的封闭图形面积为　　；

探究：当半圆 $M$ 与 $AB$ 相切时，求 $\hat{AP}$ 的长．

（注：结果保留 $π$ ， $\cos 35 ° = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $\cos 55 ° = \frac{\sqrt{3}}{3})$

某商店通过调低价格的方式促销 $n$ 个不同的玩具，调整后的单价 $y$ （元 $)$ 与调整前的单价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系，如表：

已知这 $n$ 个玩具调整后的单价都大于2元．

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并确定 $x$ 的取值范围；

（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？

（3）这 $n$ 个玩具调整前、后的平均单价分别为 $\overset{̅}{x}$ ， $\overset{̅}{y}$ ，猜想 $\overset{̅}{y}$ 与 $\overset{̅}{x}$ 的关系式，并写出推导过程．

如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形 $ABCD$ 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．

如：若从圈 $A$ 起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈 $D$ ；若第二次掷得2，就从 $D$ 开始顺时针连续跳2个边长，落到圈 $B$ ； $\dots$

设游戏者从圈 $A$ 起跳．

（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈 $A$ 的概率 $P_{1}$ ；

（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 $A$ 的概率 $P_{2}$ ，并指出她与嘉嘉落回到圈 $A$ 的可能性一样吗？

已知 $n$ 边形的内角和 $θ = (n - 2) \times 180 °$ ．

（1）甲同学说， $θ$ 能取 $360 °$ ；而乙同学说， $θ$ 也能取 $630 °$ ．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 $n$ ．若不对，说明理由；

（2）若 $n$ 边形变为 $(n + x)$ 边形，发现内角和增加了 $360 °$ ，用列方程的方法确定 $x$ ．

如图，点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在直线 $l$ 上 $(F$ ， $C$ 之间不能直接测量），点 $A$ ， $D$ 在 $l$ 异侧，测得 $AB = DE$ ， $AC = DF$ ， $BF = EC$ ．

（1）求证： $ΔABC ≅ ΔDEF$ ；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．